Proiecții

Proiecții

Nivel introductiv

E.758. Ce relație există între măsura unui unghi arbitrar și măsura proiecției sale ortogonale pe un plan?

Admiterea la facultatea de matematica, sesiunea specială pentru componenții echipei olimpice, 1989
https://www.facebook.com/groups/matemaraton/posts/1652774298762299/
Soluție
Soluție:

Fie β\beta proiecția ortogonală a unghiul α\alpha pe planul δ.\delta.
Considerăm CD⊥δCD \perp \delta și DB⊥AB⇒CB⊥AB.DB \perp AB \Rightarrow CB \perp AB.

tg⁡β=DBABtg⁡α=CBAB}⇒tg⁡βtg⁡α=DBCB⇒tg⁡β=tg⁡α⋅cos⁡γ. \begin{rcases} \tg{\beta} = \dfrac{DB}{AB} \\\\ \tg{\alpha} = \dfrac{CB}{AB} \end{rcases} \Rightarrow \dfrac{\tg{\beta}}{\tg{\alpha}}=\dfrac{DB}{CB} \Rightarrow \boxed{\tg{\beta} = \tg{\alpha} \cdot \cos{\gamma}}.