Șirul vărului lui Fibonacci :)

Șirul vărului lui Fibonacci :)

Șirul lui Fibonacci

Leonardo Fibonacci: Renumit matematician italian din perioada evului mediu (n.1170). Șirul care îi poartă numele nu el l-a descoperit, dar l-a folosit ca exemplu în una din cărțile sale.

Șirul lui Fibonacci este un șir de numere naturale format după următoarea regulă:

• $T_1=0 \quad$ (termenul $1$);
• $T_2=1\quad$ (termenul $2$);
• $T_i=T_{i-1}+T_{i-2}$ (termenul de pe o poziție oarecare $i$).

Concret, șirul lui Fibonaci este: $0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,\ldots$

Șirul vărului lui Fibonacci :)

Acest șir se construiește după aceeași regulă ca mai sus, doar că primele două numere pot fi oricare două numere de o cifră.

Exemplu: Pentru $T_1=4$ și $T_2=9$ șirul devine: $4,9,13,22,35,57,92,149,241,390,\ldots$

Suma primelor $10$ numere

Suma primelor $10$ numere dintr-un șir din "familia Fibonacci" se calculează cu formula $\boxed{S_{10} = T_7 \cdot 11}.$
Demonstrație:
Fie $T_1=a$ și $T_2=b,$ primii doi termeni ai șirului, unde $a$ și $b$ sunt cifre. În acest caz, șirul devine:
$a, b,a+b,2a+3b, 3a+5b, \underbrace{5a+8b}_{T_7}, 8a+13b, 13a+21b, 21a+34b$
Adunând, obținem: $S_{10} = 55a+88a=11(5a+8b)=11 \cdot T_7.$

Exemple

• $0,1,1,2,3,5,\boxed{8},13,21,34 \Rightarrow S_{10}=8 \cdot 11 = 88;$
• $4,9,13,22,35,57,\boxed{92},149,241,390 \Rightarrow S_{10}=92 \cdot 11 = 1012;$

Minutul de magie

Clasa alege $T_1$ și $T_2.$ Calculăm $S{_10}$ și cronometrăm:

• Asistent 1: cu telefonul;
• Asistent 2: manual;
• Eu: cu trucul amintit.