Lemă: Fie AB o coardă într-un cerc de diametru CD, cu AB∥CD. Dacă E este un punct oarecare în semiplanul determinat de CD și care nu-l conține pe AB, atunci AE+EB≥AO+OB.
Demonstrație (fig.2): Fie F al doilea punct de intersecție al dreptei BO cu cercul dat. Prin urmare, AE+EB≥EF+EB≥BF=AO+OB. Egalitate avem atunci când E coincide cu centrul cercului.
Revenim la problema noastră. Punctele A, B și centru sferei determină planul (AOB). Fie CD diametrul paralel cu AB și M un punct de pe sferă astfel încât (MCD)⊥(AOB). Vom arăta că viermele nu poate trece dincolo de planul (MCD).
- Dacă viermele se plimbă doar în planul (AOB) atunci, conform lemei, el nu poate trece dincolo de diametrul CD, distanța maximă pe care o poate parcurge fiind AO+OB (fără să atingă punctul O).
- Cu cât viermele iese mai mult în afara planului (AOB), cu atât el se va îndepărta de punctul O, deci de diametrul CD, deci de planul (MCD).
În concluzie, jumătatea sănătoasă se obține sectionând mărul cu planul (MCD).
