Soluția 1 (LM). Notăm a=sinx, b=cosx, cu x∈(0,2π). Deci și sin2x∈(0,1).
a+b+a1+b1=sinx+cosx+sinx1+cosx1≥Am−Gm
≥2sinxcosx+sinxcosx2=2⋅sin2x+sin2x22=
=2(sin2x(sin2x−1≤0)(sin2x−2≤0)+3)≥32.
Soluția 2 (Filip Munteanu). Notăm a+b=s.
2a+b≤2a2+b2=21⇒s≤2.
a+b+a1+b1≥a+b+a+b4. Deci problema se reduce la a demonstra inegalitatea s2−32s+4≥0.
Soluția 3 (Filip Munteanu). Funcția f:(0,1)→R, f(x)=x+x1 este convexă și descrescătoare, deci
f(a)+f(b)≥2⋅f(2a+b)≥2⋅f(22)=32.
Soluția 4 (Alin Pop). 1=a2+b2≥2ab⇒ab1≥2.
a+a1=a+2a1+2a1≥334a1. Analog, b+b1≥334b1.
a+b+a1+b1≥3(34a1+34b1)≥6616ab1≥66162=32.