Cercul

Cercul

Nivel introductiv

E.759. Pe arcul mic CDCD al cercului circumscris pentagonului regulat ABCDEABCDE se consideră un punct arbitrar M.M. Să se arate că:

MDMAMB=MCMAME=ϕ\dfrac{MD}{MA-MB} = \dfrac{MC}{MA-ME} = \phi\quad (numărul de aur).

Vasile Masgras, https://www.facebook.com/groups/profesoridematematica/posts/4189423384678991/
Soluție:

MDAB=PtolemeuMABDMBADMD \cdot AB \overset{Ptolemeu}{=} MA \cdot BD - MB \cdot AD

AD=BDMDMAMB=BDAB=ϕ (numa˘rul de aur).\overset{AD=BD}{\Leftrightarrow} \boxed{\dfrac{MD}{MA-MB}=\dfrac{BD}{AB}=\phi} ~\text{(numărul de aur)}.

Analog pentru cealaltă egalitate.

Notă: Într-un pentagon regulat avem următoarea proprietate: DL=1+52=ϕ (numa˘rul de aur), unde:\boxed{\dfrac{D}{L} = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} = \phi} ~\text{(numărul de aur), unde:}

  • D - diagonala pentagonului (distanța dintre două vârfuri nealăturate);
  • L - latura pentagonului.
Nivel mediu

E.188. Medianele triunghiului ABCABC intersectează cercul circumscris acestuia în AA', BB', C.C'. Să se arate că triunghiurile ABCABC și ABCA'B'C' au același centru de greutate dacă și numai dacă triunghiul ABCABC este echilateral.

Tudor Chirilă, MateMaraton, 27.01.2024
Soluție:


Coordonatele baricentrice absolute ale punctului AA' în raport cu triunghiul ABCABC satisfac atât ecuația medianei din AA, cât și ecuația cercului:

x1+y1+z1=1y1=z1a2y1z1+b2x1z1+c2x1y1=0}A(a22(b2+c2)a2, b2+c22(b2+c2)a2, b2+c22(b2+c2)a2). \begin{rcases} x_1+y_1+z_1=1 \\ y_1=z_1 \\ a^2y_1z_1 + b^2x_1z_1 + c^2x_1y_1 = 0 \end{rcases} \Rightarrow \boxed{A'\bigg(\dfrac{-a^2}{2(b^2+c^2)-a^2},~ \dfrac{b^2+c^2}{2(b^2+c^2)-a^2},~ \dfrac{b^2+c^2}{2(b^2+c^2)-a^2}\bigg)}.
Analog, B(c2+a22(c2+a2)b2, b22(c2+a2)b2, c2+a22(c2+a2)b2)\boxed{B'\bigg(\dfrac{c^2+a^2}{2(c^2+a^2)-b^2},~ \dfrac{-b^2}{2(c^2+a^2)-b^2},~ \dfrac{c^2+a^2}{2(c^2+a^2)-b^2}\bigg)} și

C(a2+b22(a2+b2)c2, a2+b22(a2+b2)c2, c22(a2+b2)c2).\boxed{C'\bigg(\dfrac{a^2+b^2}{2(a^2+b^2)-c^2},~ \dfrac{a^2+b^2}{2(a^2+b^2)-c^2},~ \dfrac{-c^2}{2(a^2+b^2)-c^2}\bigg)}.

"\Rightarrow": a=b=cA(13, 23, 23),B(23, 13, 23), C(23, 23, 13)G(13, 13, 13)a=b=c \Rightarrow A'\bigg(-\dfrac{1}{3},~\dfrac{2}{3},~\dfrac{2}{3}\bigg), B'\bigg(\dfrac{2}{3},~-\dfrac{1}{3},~\dfrac{2}{3}\bigg),~ C'\bigg(\dfrac{2}{3},~\dfrac{2}{3},~-\dfrac{1}{3}\bigg) \Rightarrow G'\bigg(\dfrac{1}{3},~\dfrac{1}{3},~\dfrac{1}{3}\bigg), deci G=G.\boxed{G'=G}.

"\Leftarrow": Dacă G=GG'=G, atunci x1+x2+x33=13\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3}=\dfrac{1}{3} și analoagele. Folosind formula medianei, obținem:

a2ma2+c2+a2mb2+a2+b2mc2=4(1)\dfrac{-a^2}{m_a^2} + \dfrac{c^2+a^2}{m_b^2} + \dfrac{a^2+b^2}{m_c^2} = 4 \quad (1)

b2+c2ma2+b2mb2+a2+b2mc2=4(2)\dfrac{b^2+c^2}{m_a^2} + \dfrac{-b^2}{m_b^2} + \dfrac{a^2+b^2}{m_c^2} = 4 \quad (2)

b2+c2ma2+c2+a2mb2+c2mc2=4(3)\dfrac{b^2+c^2}{m_a^2} + \dfrac{c^2+a^2}{m_b^2} + \dfrac{-c^2}{m_c^2} = 4 \quad (3)

(1)(2)ma=mb(2)(3)mb=mc}ma=mb=mca=b=c. \begin{rcases} (1)-(2) \Rightarrow m_a=m_b \\ (2)-(3) \Rightarrow m_b=m_c \end{rcases} \Rightarrow m_a=m_b=m_c \Rightarrow \boxed{a=b=c}.