Fie $P$ mijlocul lui $AD.$
În triunghiul $ABD,~MP$ linie mijlocie $\Rightarrow BD \parallel MP \Rightarrow \measuredangle(MN,BD) = \measuredangle(MN,MP) = \measuredangle{NMP} = \alpha.$

$PM$ și $PN$ sunt linii mijlocii $\Rightarrow \boxed{PM=PN=10 \text{ cm}}.$
În triunghiul echilateral $BCD, ~BN$ este înălțime $\Rightarrow BN=\dfrac{20\sqrt{3}}{2},$ deci $\boxed{BN=10\sqrt{3}}.$
În triunghiul isoscel $ANB ~(AN = BN = 10\sqrt{3}),$ mediana $NM$ este și înălțime $\Rightarrow \boxed{\measuredangle{BMN}=90\degree}.$
În triunghiul dreptunghic $BMN, MN^2=BN^2-BM^2 = 300-100,$ deci $\boxed{MN=10\sqrt{2}}.$

În triunghiul isoscel $PMN \overset{RTP}{\Rightarrow} \measuredangle{P}=90\degree \Rightarrow \measuredangle{M}=45\degree \Rightarrow\boxed{\measuredangle(MN,MP) = 45\degree}.$

Notăm cu $a$ lungimea laturii cubului și cu $N$ mijlocul muchiei $CC'.$
În triunghiul $BCC',~MN$ linie mijlocie $\Rightarrow BC' \parallel MN \Rightarrow \measuredangle(BC',DM) = \measuredangle(MN,DM) = \measuredangle{DMN} = \alpha.$

În triunghiul dreptunghic $ABM,~(6\sqrt{5})^2 = a^2+ \dfrac{a^2}{4} \Rightarrow \boxed{a=12} \Rightarrow BC'=12\sqrt{2} \Rightarrow \boxed{MN=6\sqrt{2}}.$

În triunghiul dreptunghic isoscel $DMN$ (cu $DM=DN=6\sqrt{5}$), considerăm $DP$ mediană și înălțime.
În triunghiul dreptunghic $DPM,~ DP^2=DM^2-MP^2 = 36 \cdot 5 - 9 \cdot 2 \Rightarrow \boxed{DP=9\sqrt{2}}.$
În același triunghi $DPM,~ \sin \alpha = \dfrac{DP}{DM} = \dfrac{9\sqrt{2}}{6\sqrt{5}},$ deci $\boxed{\sin \measuredangle(BC',DM) = \dfrac{3\sqrt{10}}{10}}.$

$EB' \parallel \equiv CF \Rightarrow EB'FC$ paralelogram $\Rightarrow CE \parallel FB' \Rightarrow \measuredangle(CE,D'F) = \measuredangle(FB',D'F) = \measuredangle{B'FD'} = \alpha.$
Cum $F$ este mijlocul lui $CC' \Rightarrow C'F=C'B'=C'D'=12$ cm.
$B'D' \equiv D'F \equiv FB'$ (ipotenuze în triunghiuri congruente) $\Rightarrow \triangle B'FD'$ echilateral $\Rightarrow \alpha=60\degree \Rightarrow \boxed{ \measuredangle(CE,D'F) = 60 \degree}.$

a) $ADD'A'$ dreptunghi, $AN=ND' \Rightarrow \boxed{A'N=ND}.$
În triunghiul $A'AD,~PN$ linie mijlocie $\Rightarrow PN \parallel AD.$ Dar $AD \parallel BC \Rightarrow \boxed{PN \parallel BC}.$
Două drepte paralele determină un plan, deci punctele $P,N$ și $B,C$ sunt coplanare $\Rightarrow \boxed{\text{dreptele } BP \text{ și } CN \text{ sunt complanare}}.$

b) În triunghiul $A'BD,~MN$ linie mijlocie $\Rightarrow MN \parallel BD \Rightarrow \measuredangle(MN,BC) = \measuredangle(BD,BC)=\alpha.$
În triunghiul dreptunghic $BCD, \tan \alpha = \dfrac{DC}{BC} = \dfrac{6\sqrt{2}}{6} = \sqrt{2},$ deci $\boxed{\tan \measuredangle(MN,BC)=\sqrt{2}}.$

a) Într-un cerc, vârfurile a două diametre perpendiculare determină un pătrat $\Rightarrow VACBD$ este o piramidă patrulateră regulată.
În pătratul $ACBD,~AB=2\cdot AO = 2\sqrt{2} \Rightarrow \boxed{AC=2 \text{ cm}}.$

În triunghiul dreptunghic $AVO, ~\sin(\widehat{AVO}) = \dfrac{AO}{AV} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \boxed{\measuredangle (VA,VO)=45\degree}.$

b) $ACBD$ pătrat $\Rightarrow BC \parallel AD \Rightarrow \measuredangle (VA,BC) = \measuredangle (VA,AD).$
Cum triunghiul $VAD$ este echilateral $(VA=VD=AD=2 \text{ cm}) \Rightarrow \measuredangle VAD = 60\degree \Rightarrow \boxed{\measuredangle (VA,BC)=60\degree}.$