Tangenta la cerc

Tema 4

Lucian Maran, 15-02-2025

Problema 1. Din punctul AA, exterior unui cerc de centru OO, se construiesc tangentele ABAB și ACAC (BB, C∈CC \in \cal{C}). Demonstrați că BC⊥AO.BC \perp AO.

Art, 13/126, ** (duplicat E.210)., E.178

Indicații: Se arată că △ABO≡I.C.△ACO\triangle ABO \overset{I.C.}{\equiv} \triangle ACO, apoi că △DBO≡L.U.L.△DCO\triangle DBO \overset{L.U.L.}{\equiv} \triangle DCO. În final rezultă ∡BDO≡∡CDO.\measuredangle BDO \equiv \measuredangle CDO.

Problema 2. Fie OO centrul comun a două cercuri și ABAB, CDCD două coarde ale cercului mare, tangente cercului mic. Demonstrați că AB=CD.AB=CD.

Art, 21/127, **, E.179

Indicația 1: Fie MM și NN punctele de tangență ale segmentelor AB,AB, respectiv CDCD cu cercul mic. Se arată că △OMB≡I.C.△OND\triangle OMB \overset{I.C.}{\equiv} \triangle OND, deci ∡BOM≡∡DON.\measuredangle BOM\equiv \measuredangle DON. Analog, ∡AOM≡∡CON.\measuredangle AOM\equiv \measuredangle CON.

Indicația 2: Se arată că △AOB≡△COD.\triangle AOB \equiv \triangle COD.

Problema 3. Pe un cerc se iau punctele CC și DD de o parte și de alta a diametrului AB.AB. Drepta BDBD interseactează tangenta în AA la cerc în punctul E.E. Arătați că ∡BCD≡∡AEB.\measuredangle BCD \equiv \measuredangle AEB.

Art, 22/127, ***, E.180

Indicații: AEBAEB unghi exterior ⇒∡AEB=ACB⏠−AD⏠2=ADB⏠−AD⏠2=BD⏠2.\Rightarrow \measuredangle AEB = \dfrac{\overgroup{ACB} - \overgroup{AD}}{2} = \dfrac{\overgroup{ADB} - \overgroup{AD}}{2} = \dfrac{\overgroup{BD}}{2}.

Problema 4. Pe prelungirea unei coarde ABAB a unui cerc de centru OO se construiește segmentul BCBC, de lungime egală cu raza cercului. Secanta COCO intersectează cercul în punctul EE astfel încât O∈(CE).O \in (CE). Arătați că ∡AOE=3⋅∡ACO.\measuredangle {AOE} = 3 \cdot \measuredangle {ACO}.

Art, 23/127, ***, E.181

Indicația 1: △OBC\triangle OBC isoscel ⇒∡C=∡BOC.\Rightarrow \measuredangle C = \measuredangle BOC.

Indicația 2: C^=AE⏠−BD⏠2=AOE^−BOC^2=AOE^−C^2.\widehat{C} = \dfrac{\overgroup {AE} - \overgroup{BD}}{2} = \dfrac{\widehat{AOE} - \widehat{BOC}}{2} = \dfrac{\widehat{AOE} - \widehat{C}}{2}.