Probleme de redistribuire

Tema 8

Lucian Maran, 13-12-2024

Problema 1. Dacă elevii unei clase se așează câte patru în bancă, atunci rămân cinci bănci libere, iar dacă se așează câte trei într-o bancă, rămân două bănci libere, iar într-o bancă stă un singur elev.
a) Câți elevi și câte bănci sunt în clasă?
b) Care este cel mai mic număr de elevi care ar trebui să vină în această clasă, astfel încât în fiecare bancă să stea același număr de elevi?

Admitere Loga, model, 2024, E.592
Soluție:

a) Notăm cu ee și bb numărul de elevi, respectiv numărul de bănci.

{e=4⋅(b−5)e=3⋅(b−3)+1⇒4b−20=3b−9+1⇒b=12. \begin{cases} e = 4 \cdot (b-5) \\ e = 3 \cdot (b-3) + 1 \end{cases} \Rightarrow 4b -20 = 3b -9 + 1 \Rightarrow \boxed{b=12}.
e=4⋅(12−5)⇒e=28.e=4 \cdot (12-5) \Rightarrow \boxed{e=28}.

b) Inițial avem 1212 bănci și 2828 elevi.
28:12=2,28:12=2, rest 4.4. Așadar:

  • dacă elevii stau câte 22 în bancă (sau mai puțini), o parte vor sta în picioare. Nu convine;
  • dacă elevii stau câte 33 în bancă, mai trebuie să vină 3⋅12−28=83 \cdot 12 - 28= 8 elevi;
  • dacă elevii stau câte 44 în bancă (sau mai mulți), mai trebuie să vină 4⋅12−28=204 \cdot 12 - 28= 20 elevi (sau mai mulți);

Prin urmare, numărul minim de elevi care mai trebuie să vină este 8.8.

Problema 2. Victor are jetoane albe și roșii. Dacă face grupe de 22 jetoane albe și 33 roșii rămân negrupate 11 jeton roșu și 33 albe, iar dacă grupează 33 jetoane albe și 22 roșii rămân negrupate 22 albe și 1717 roșii.
a) Câte jetoane albe și câte roșii sunt?
b) Victor pierde de trei ori mai multe jetoane albe decât roșii și constată că numărul jetoanelor roșii este de 55 ori mai mare decât numărul de jetoane albe. Câte jetoane roșii a pierdut?

Admitere Loga, 2024, E.593
Soluție:

a) Notăm cu aa și rr numărul de jetoane albe, respectiv roșii.
Notăm cu xx și yy numărul de grupe pe care Victor le formează în primul, respectiv în al doilea scenariu.

Scenariul 1:{a=2x+3r=3x+1⇔{x=(a−3):2x=(r−1):3⇒(a−3):2=(r−1):3⇒3a=2r+7. \text{Scenariul 1:} \begin{cases} a=2x+3 \\ r=3x+1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=(a-3):2 \\ x=(r-1):3 \end{cases} \Rightarrow (a-3):2 = (r-1):3 \Rightarrow \boxed{3a=2r+7}.

Scenariul 2:{a=3y+2r=2y+17⇔{y=(a−2):3y=(r−17):2⇒(a−2):3=(r−17):2⇒2a+47=3r. \text{Scenariul 2:} \begin{cases} a=3y+2 \\ r=2y+17 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y=(a-2):3 \\ y=(r-17):2 \end{cases} \Rightarrow (a-2):3 = (r-17):2 \Rightarrow \boxed{2a+47=3r}.

Din ultimele două relații, avem:

{3a=2r+7∣⋅22a+47=3r∣⋅2⇔{6a=4r+146a+141=9r⇒(−)141=5r−14⇒r=31. \begin{cases} 3a=2r+7 \quad | \cdot 2 \\ 2a+47=3r \quad | \cdot 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 6a=4r+14 \\ 6a+141=9r \end{cases} \overset{(-)}{\Rightarrow} 141=5r-14 \Rightarrow \boxed{r=31}.
3a=2⋅31+7⇒a=23.3a=2 \cdot 31 + 7 \Rightarrow \boxed{a=23}.

b) Notăm cu pp numărul de jetoane roșii pierdute și cu nn numărul de jetoane albe rămase.

{23−3p=n31−p=5n⇔{n+3p=23∣⋅55n+p=31⇔{5n+15p=1155n+p=31⇒(−)14p=84⇒p=6. \begin{cases} 23-3p=n \\ 31-p=5n \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} n+3p=23 \quad | \cdot 5\\ 5n+p=31 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 5n+15p=115\\ 5n+p=31 \end{cases} \overset{(-)}{\Rightarrow} 14p=84 \Rightarrow \boxed{p=6}.

Problema 3. Ana cumpără papagali verzi și galbeni, precum și cuști. Dacă pune 22 papagali într-o cușcă rămâne cu 33 papagali pe dinafară, iar după ce mai cumpără 33 papagali și pune câte 33 într-o cușcă rămâne cu o cușcă liberă și una cu 22 papagali.
a) Câți papagali și câte cuști a cumpărat la început?
b) Dacă la sfârșit numărul papagalilor verzi este cu 22 mai mare decât dublul papagalilor galbeni câți papagali verzi are?

Admitere Loga, 2023, E.594
Soluție:

a) Notăm cu pp și cc numărul de papagali pe care i-a avut la început, respectiv numărul de cuști.

{p=2c+3p+3=3(c−2)+2⇔{p=2c+3p=3c−7⇒2c+3=3c−7⇒c=10. \begin{cases} p=2c+3 \\ p+3=3(c-2)+2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} p=2c+3 \\ p=3c-7 \end{cases} \Rightarrow 2c+3=3c-7 \Rightarrow \boxed{c=10}.
p=2⋅10+3⇒p=23.p=2 \cdot 10+3 \Rightarrow \boxed{p=23}.

b) Notăm cu gg și vv numărul de papagali galbeni, respectiv verzi pe care îi are la sfârșit.

{g+v=23+3v=2g+2⇒g+(2g+2)=26⇒g=8. \begin{cases} g+v=23+3 \\ v=2g+2 \end{cases} \Rightarrow g + (2g+2)=26 \Rightarrow \boxed{g=8}.
v=2⋅8+2⇒v=18.v=2 \cdot 8 + 2 \Rightarrow \boxed{v=18}.

Problema 4. Pe niște platouri se pun banane și mere. Știm că bananele sunt de două ori mai multe ca merele. Dacă se pun pe fiecare platou 33 mere, rămân pe dinafară 55 mere, iar dacă se pun pe fiecare platou 55 banane rămân pe dinafară 3636 banane.
a) Câte platouri sunt?
b) Câte banane mai trebuie aduse pentru a fi complete 4040 de platouri? (un platou complet conține 55 banane).

Admitere Loga, 2022, E.595
Soluție:

a) Notăm cu p,m,bp, m, b numărul de platouri, mere, respectiv banane.

{m=3p+5∣⋅2b=5p+36b=2m⇒{2m=6p+102m=5p+36⇒6p+10=5p+36⇒p=26. \begin{cases} m=3p+5 \quad | \cdot 2 \\ b=5p+36 \\ b=2m \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2m=6p+10 \\ 2m=5p+36 \end{cases} \Rightarrow 6p+10=5p+36 \Rightarrow \boxed{p=26}.

b) Ca să umplem 4040 de platouri avem nevoie de 40⋅5=20040 \cdot 5 = 200 banane.
Dar noi avem doar b=5⋅26+36=166b=5 \cdot 26+36=166 banane.
Prin urmare, va trebui să mai aducem 200−166=34200-166=34 banane.

Problema 5. Dacă într-o bibliotecă se așază câte 2828 cărți pe fiecare poliță, rămân 1010 cărți neașezate. Dacă se așază câte 4040 de cărți pe poliță, rămân 44 polițe goale și o poliță cu doar 3030 de cărți. (Toate cărțile au același format.)
a. Calculați numărul total de cărți.
b. Dacă la bibliotecă se mai aduc 490490 de cărți, care este numărul minim de polițe ce mai trebuie montate pentru ca toate cărțile să fie distribuite în mod egal pe toate polițele bibliotecii. Se știe că o poliță nu suportă mai mult de 4040 de cărți.

Admitere Loga, 2021, E.596
Soluție:

a) Notăm cu cc și pp numărul de cărți, respectiv numărul de polițe.

{c=28p+10c=40(p−5)+30⇒28p+10=40p−200+30⇒p=15. \begin{cases} c=28p+10 \\ c=40(p-5)+30 \end{cases} \Rightarrow 28p+10 = 40p-200+30 \Rightarrow \boxed{p=15}.
c=28⋅15+10⇒c=430.c=28 \cdot 15+10 \Rightarrow \boxed{c=430}.

b) În total avem 430+490=920430+490=920 cărți.
Ca să obținem un număr minim de polițe, trebuie ca pe fiecare poliță sa punem cât mai multe cărți. La încărcarea maximă, aceste cărți le putem repartiza pe 920:40=23920:40=23 polițe.
Prin urmare, mai trebuie să aducem 23−15=823-15=8 polițe.

Problema 6. Bunica împarte nepoților o sumă de bani. Dacă ar da câte 100100 lei fiecăruia dintre ei, atunci i-ar rămâne 300300 lei. Dacă ar da câte 200200 de lei fiecăruia, atunci 22 nepoți nu primesc nici un leu. Câți nepoți are bunica și ce sumă de bani a avut de împărțit?

Admitere Loga, 2020, E.597
Soluție:

Notăm cu ss și nn suma pe care o are de împărțit bunica, respectiv numărul de nepoți.

{s=100⋅n+300s=200⋅(n−2)⇒100n+300=200n−400⇒n=7. \begin{cases} s=100 \cdot n + 300 \\ s = 200 \cdot (n-2) \end{cases} \Rightarrow 100n+300 = 200n-400 \Rightarrow \boxed{n=7}.
s=100⋅7+300⇒s=1000.s=100 \cdot 7 + 300 \Rightarrow \boxed{s=1000}.