Soluții-Tema6 Probleme de perspicacitate

Problema 1. Un maimuțoi jucăuș urcă niște scări astfel: urcă $4,$ coboară $2,$ urcă $5,$ coboară $2,$ urcă $7,$ coboară $3$ si apoi repeta procedeul. Un pas înseamnă urcarea sau coborârea unei trepte.
a) După câți pași ajunge prima data pe treapta cu numărul $93?$
b) Câte trepte urcă după $465$ pași?

Admite Loga, 2024, E.545

Soluție:

$\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow$
$\phantom{\longrightarrow\longrightarrow}\longleftarrow\longleftarrow$
$\phantom{\longrightarrow\longrightarrow}\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow$
$\phantom{\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow}\longleftarrow\longleftarrow$
$\phantom{\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow}\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow$
$\phantom{\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow}\longleftarrow\longleftarrow\longleftarrow$

Într-un ciclu, maimuțoiul urcă $4-2+5-2+7-3 = 9$ trepte și parcurge $4+2+5+2+7+3 = 23$ de pași.
În $10$ cicli, maimuțoiul a urcat $9 \cdot 10 = 90$ trepte și a parcurs $23 \cdot 10 = 230$ pași. Înseamnă că treapta $93$ a atins-o cu $3$ pași în urmă, adică după $227$ pași.

b) $465 = 20 \cdot 23 + 5.$ Deci cei $465$ de pași înseamnă $20$ de cicluri complete, plus încă 5 pași.

În cele $20$ de clicluri, urcă $20 \cdot 9 = 180$ trepte.
În ultimii cinci pași, urcă $4-1=3$ trepte.

Așadar, după $465$ de pași urcă $180+3=183$ trepte.

Problema 2. Un burete plin de apă cântărește $140$ grame, după ce se evaporă jumătate din cantitatea de apă cântărește $90$ grame. Cât cântărește buretele uscat?

Admite Loga, 2023, E.546

Soluție:

Notăm cu $b$ și $a$ greutatea buretelui gol, respectiv a apei.

\begin{rcases} b + a = 140 \\ b + a:2 = 90 \end{rcases} \Rightarrow a:2 = 140-90=50 \Rightarrow \boxed{a=100 \text{ g}} \Rightarrow \boxed{b=40 \text{ g}}.

Problema 3. Călin stă pe o scară și observă că sub treapta pe care stă sunt de trei ori mai multe trepte decât deasupra. După ce coboară $11$ trepte constată că deasupra și dedesubtul său sunt la fel de multe trepte. Câte trepte are scara?

Admite Loga, 2022, E.547

Soluție:

Inițial avem treapta pe care stă Calin, $x$ trepte deasupra și $3x$ trepte dedesubt.
După ce Călin coboară $11$ trepte, deasupra lui rămân x+11 trepte, iar dedesubt 3x-11 trepte. Cum cele două valori sunt egale, putem scrie:

$x+11 = 3x-11 \quad \big |+11$
$x+22 = 3x \quad \big |-x$
$22 = 2x \Rightarrow \boxed{x=11}.$
Deci scara are $1 + 11 + 3 \cdot 11 = 45$ trepte.

Problema 4. Ionel și Victor așează pe masă, unul peste celălalt, un număr de cuburi albe. Ionel vopsește cu roșu al 9-lea cub, numărat de jos în sus, iar Victor vopsește cu verde al $7$ -lea cub, numărat de sus în jos. Știind că cel verde este mai jos decât cubul roșu și că între ele se află două cuburi albe, precizați numărul total de cuburi care se află pe masă.

Admite Loga, 2021, E.548

Soluție:

Dacă între $9$ și $7$ sunt două cuburi, înseamnă că de la $9$ (inclusiv) până la $7$ (inclusiv) sunt $4$ cuburi. Deci deasupra lui $9$ sunt $7-4=3$ cuburi.
Știind că de jos până la $9$ (inclusiv) sunt $9$ cuburi și că deasupra lui 9 mai sunt $4$ cuburi, înseamnă că numărul total de cuburi va fi $9 + 3 = 12$ cuburi.

Metoda 2 Numărul total de cuburi este $9+7-4 = 12.$
Am scăzut $4$ fiindcă cele $4$ cuburi de la $9$ (inclusiv) până la $7$ (inclusiv) le-am numărat de două ori.

Problema 5. Călin merge pe o potecă în șir indian cu colegii lui. În fața lui sunt de $2$ ori mai puțini copii decât în spatele lui. La un moment dat, Călin este depășit de $3$ copii și astfel el se află exact în mijlocul șirului. Câți copii sunt în șir?

Admite Loga, 2020, E.549

Soluție:

Inițial, în fața lui Călin sunt $x$ copii, iar în spatele lui, $2x$ copii.
După ce este depășit de 3 colegi, în spatele lui vor fi $2x-3$ iar în fața lui $x+3$ copii. Cum cele două valori sunt egale, putem scrie:
$2x-3 = x+3 \quad \big | +3$
$2x=x+6 \Rightarrow \boxed{x=6}.$

Împreună cu Călin, în șir vor fi $2x+1+x = 19$ copii.

Problema 6. Un dreptunghi are una dintre laturi de $24$ cm. Trasăm trei segmente în așa fel încât să obținem patru pătrate. Ce dimensiune poate avea cealaltă latură?

Admite Loga, 2019, E.550

Soluție:

Avem $3$ variante: $L=24$ , $l=6$ , sau $l=24$ , $L=60$ sau $l=24$ , $L=96.$

Probleme de perspicacitate

Tema 6