Teorema împărțirii cu rest

Tema 5

Lucian Maran, 22-11-2024

Problema 1. Care este numărul care împărțit la 55 dă câtul 459459 și restul mai mare decât jumătatea succesorului împărțitorului?

Admite Loga, 2024, E.487
Soluție:

Din TIR avem D=5⋅459+R,D=5 \cdot 459 + R, cu R<5.\boxed{R <5}.
Jumătatea succesorului împărțitorului este (5+1):2=3,(5+1):2=3, deci R>3.\boxed{R>3}.
Cum R>3R>3 și R<5⇒R=4.R<5 \Rightarrow \boxed{R=4}.
Revenind la egalitatea inițială, D=5⋅459+4=2299.D = 5 \cdot 459 + 4 =2299.

Problema 2. Suma a două numere naturale este 2023.2023. Dacă împărţim numărul mai mare la cel mic obținem câtul și restul egale cu 3.3. Calculați diferenţa numerelor.

Admite Loga, 2023, E.488
Soluție:

Notăm cu aa și bb cele două numere, cu a>b.a>b.
Din TIR avem: a=b⋅3+3.\boxed{a=b \cdot 3 + 3}.
Dar a+b=2023,a+b=2023, deci b=2023−a.\boxed{b=2023-a}.

Așadar, a=(2023−a)⋅3+3a=(2023-a) \cdot 3 + 3
a=2023⋅3−3a+3a = 2023\cdot 3 - 3a + 3
4a=6072⇒a=1518⇒b=505⇒a−b=1013.4a=6072 \Rightarrow \boxed{a=1518} \Rightarrow \boxed{b=505} \Rightarrow \boxed{a-b=1013}.

Problema 3. Care este cel mai mare număr natural care împărţit la 5050 dă restul egal cu dublul câtului?

Admite Loga, 2021, E.489
Soluție:

Din TIR avem: D=50⋅C+R,D=50 \cdot C + R, cu R<50.R<50.
DD este maxim când RR este maxim. Cum R=2C,R = 2C, căutăm cel mai mare număr par mai mic decât 50.50.
Deci R=48\boxed{R=48} și C=24⇒Dmax=50⋅24+48=1248.\boxed{C=24} \Rightarrow D_{max} = 50 \cdot 24 + 48=1248.

Problema 4. Cel mai mic număr de trei cifre, care prin împărţire la un număr de o cifră dă restul 8?8?

Admite Loga, 2020, E.490
Soluție:

Din TIR avem D=I^⋅C+8,D = Î \cdot C + 8, cu 8<I^.8 < Î.
Cum 8<I^8 < Î și I^Î este o cifră, rezultă I^=9.\boxed{Î=9}.
Revenind la relația inițială, avem D=9C+8.D = 9C+8.
DD este minim și are 33 cifre atunci când C=11⇒D=9⋅11+8=107.\boxed{C=11} \Rightarrow D=9 \cdot 11 + 8 = 107.

Problema 5. Suma a 44 numere este 120.120. Ȋmpărţind 33 dintre ele la al patrulea obţinem de fiecare dată câtul 33 și restul 0.0. Care este cel mai mic număr dintre ele?

Admite Loga, Baraj, 2019, E.491
Soluție:

Notăm cele 4 numere cu a,b,c,d,a,b,c,d, unde dd este cel mai mic dintre ele. Din TIR avem:

  • a=d⋅3+0;a = d \cdot 3 + 0;
  • b=d⋅3+0;b = d \cdot 3 + 0;
  • c=d⋅3+0;c = d \cdot 3 + 0;

Prin adunare obținem a+b+c=9d.\boxed{a+b+c = 9d}.
Dar a+b+c+d=120⇒9d+d=120⇒d=12.a+b+c +d= 120 \Rightarrow 9d+d=120 \Rightarrow \boxed{d=12}.

Problema 6. Restul unei împărțiri este cu 2020 mai mic decât câtul. Câtul este triplul celei mai mari cifre. Deîmpărțitul este par, iar împărțitorul are o singură cifră. Calculați suma dintre deîmpărțit, împărțitor, cât și rest.

Admite Loga, 2018, E.493
Soluție:

Din TIR avem D=I^⋅C+R,D=Î \cdot C + R, unde R<I^.R<Î.

  • Cea mai mare cifră este 9⇒C=3⋅9=27.9 \Rightarrow \boxed{C=3 \cdot 9 = 27}.
  • R=C−20⇒R=7.R = C-20 \Rightarrow \boxed{R=7}.
  • Cum RR și CC sunt impare și DD este par ⇒I^\Rightarrow Î trebuie să fie impar. Dar R<I^R<Î și I^Î este impar, cu o singură cifră ⇒I^=9.\Rightarrow \boxed{Î=9}.
  • D=9⋅27+7,D= 9 \cdot 27+7, deci D=250.\boxed{D=250}.

D+I^+C+R=250+9+27+7=293.D+Î + C + R = 250 + 9 + 27+7 = 293.

Problema 7. Calculați suma tuturor resturilor care se pot obține prin împărţirea unui număr la 11.11.

Admite Loga, 2014, E.494
Soluție:

Conform TIR, resturile obținute prin împărțirea unui număr la 1111 pot fi 0,1,2,…,10.0,1,2, \ldots, 10.
Adunând aceste resturi obținem 10⋅11:2=55.10 \cdot 11 :2 = 55.