Înmulțirea și împărțirea numerelor naturale. Factor comun.

Tema 3

Lucian Maran, MateMaraton, 11-11-2024

Problema 1. Calculați diferența dintre cel mai mare număr natural de patru cifre distincte, care are produsul cifrelor număr impar și cel mai mic număr de patru cifre care are produsul cifrelor număr par.

Admite Loga, 2017, E.405
Soluție:

Pentru ca produsul cifrelor să fie un număr impar trebuie ca toate cifrele sa fie numere impare ⇒9753.\Rightarrow 9753.
Pentru ca produsul cifrelor să fie un număr par trebuie ca cel puțin o cifră sa fie număr par ⇒1000.\Rightarrow 1000.
Diferența cerută este 9753−1000=8753.9753-1000 = 8753.

Problema 2. Andrei își păstrează colecția de timbre în cutii. El are 55 cutii verzi mari. În fiecare din aceste cutii sunt câte 66 cutii albastre, iar în fiecare cutie albastră sunt câte 33 cutii galbene. Câte cutii folosește în total Andrei?

Admite Loga, 2022, E.430
Soluție:

Andrei folosește:

  • 55 cutii verzi;
  • 5⋅6=305 \cdot 6 = 30 cutii albastre;
  • 5⋅6⋅3=905 \cdot 6 \cdot 3 = 90 cutii galbene.

Deci, în total, 5+30+90=1255+30+90 = 125 cutii.

Problema 3. Calculați produsul a 88 numere naturale diferite care au suma egală cu 28.28.

Mate2000 pentru performanță, 14/13, E.432
Soluție:

Suma primelor 8 numere naturale este 0+1+2+…+7=7⋅8:2=28.0+1+2+ \ldots + 7 = 7 \cdot 8 : 2 = 28.
Prin urmare, singurele numere care satisfac condiția din enunț sunt 0,1,2,…,7,0, 1, 2, \ldots, 7, iar produsul acestor numere este 0.0.

Problema 4. În câte zerouri se termină produsul primelor 129129 de numere naturale nenule?

Mate2000 pentru performanță, 19/13, E.433
Soluție:

De la 11 la 129129 avem:

  • 2525 numere care au în descompunerea lor cel puțin un 55: 5⋅1,5⋅2,…,5⋅25;5 \cdot \boxed{1}, 5 \cdot \boxed{2}, \ldots, 5 \cdot \boxed{25};
  • 55 numere care au în descompunerea lor cel puțin doi de 55: 25⋅1,25⋅2,…,25⋅5;25 \cdot \boxed{1}, 25 \cdot \boxed{2}, \ldots, 25 \cdot \boxed{5};
  • un număr care are în descompunerea lui trei de 55: 125.125.

Prin urmare, produsul cerut conține în descompunerea sa 25+5+1=3125+5+1=31 de 5,5, (și mult mai mulți de 22), deci 3131 de perechi de 55 și 2,2, adică 3131 de zero.

Problema 5. Aflați ultima cifră a numărului n=1+1⋅2+1⋅2⋅3+…+1⋅2⋅3⋅…⋅2018.n=1 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 2 \cdot 3 + \ldots + 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 2018.

Mate2000 pentru performanță, 22/13, E.434
Soluție:

Observăm că, începând cu al 55-lea termen, fiecare termen conține în descompunerea sa cel pun câte un 55 și un 2,2, adică are ultima cifră 0.0.
Prin urmare, ultima cifră a numărului dat este:
Uc(n)=Uc(1+1⋅2+1⋅2⋅3+1⋅2⋅3⋅4)=Uc(1+2+6+24)=3.U_c(n)= U_c(1 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 2 \cdot 3 + 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4)=U_c(1+2+6+24) = 3.

Problema 6. Câte numere abc‾\overline{abc} există astfel încât a⋅b⋅c=4?a \cdot b \cdot c = 4?

Admite Loga, 2015, E.410
Soluție:

Numerele cerute sunt de forma:

  • 1bc‾:114,122,141⇒3\overline{1bc}: 114, 122, 141 \Rightarrow 3 numere;
  • 2bc‾:212,221⇒2\overline{2bc}: 212, 221 \Rightarrow 2 numere;
  • 4bc‾:411⇒\overline{4bc}: 411 \Rightarrow un număr.

În total, 66 numere.

Problema 7. Calculați suma a 5050 de numere naturale care au produsul egal cu 17.17.

Admite Loga, 2018, E.406
Soluție:

Cum 1717 se împarte exact doar la 11 și la el însuși, înseamnă că singurele numere care satisfac condiția din enunț sunt 17,1,1,1…1⏟49 dee 1,17, \underbrace{1,1,1 \ldots 1}_{\text{49 dee 1}}, iar suma lor este 17+49⋅1=66.17 + 49 \cdot 1 = 66.