Notăm $AB=BC=CA=e.$
$36\sqrt{3} = A_{ABC}=\dfrac{e^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \Rightarrow e^2 = 4 \cdot 36 \Rightarrow \boxed{e=12}.$

Fie $VD$ înălțime și mediană în triunghiul isoscel $VAB \Rightarrow \boxed{AD=6}.$

În $\triangle VAD,~ \widehat{D}=90\degree,~ tg(A) = \dfrac{VD}{AD} \Rightarrow VD = 6 \cdot \dfrac{\sin{30}}{\cos{30}} = 6 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{3}} \Rightarrow \boxed{VD=2\sqrt{3}}.$
$A_{VAB} = \dfrac{VD\cdot AB}{2}= \dfrac{2\sqrt{3} \cdot 12}{2},$ deci $\boxed{A_{VAB} = 12\sqrt{3} \text{ cm}^2}.$

Notăm cu $m$ muchia tetraedrului și cu $e$ muchia triunghiului $ABC.$
Fie $O$ centrul de greutate al triunghiului echilateral $ABC$ și $CO \cap AB = \{D\}.$
Deci în triunghiul $ABC, CD$ este înălțime și mediană iar $OC$ este raza cercului circumscris.
$CO = \dfrac{2}{3} \cdot CD \Rightarrow CD = \dfrac{3}{2} \cdot OC,$ adică $\boxed{CD=12 \sqrt{6}}.$

Triunghiul $ABC$ este echilateral $\Rightarrow CD=\dfrac{e \sqrt{3}}{2} \Rightarrow \boxed{e=24\sqrt{2}}.$

În triunghiul $VBC$ dreptunghic, isoscel, $e=m\sqrt{2} \Rightarrow \boxed{m=24}.$

$\triangle AVC$ dreptunghic isoscel $\Rightarrow AC=VA\cdot\sqrt{2},$ deci $\boxed{AC=6 \text{ cm}}.$
$\triangle{AVC} \equiv \triangle{BVD}$ (C.C.) $\Rightarrow AC=BD \Rightarrow ABCD$ este dreptunghi $\Rightarrow \boxed{\widehat{ABC} = 90\degree}.$
$\triangle ABC$ dreptunghic $\Rightarrow AB^2 + BC^2 = AC^2=36$ cm$^2.$

Notă cu O centru hexagonului $ABCDEF$ (fig.2).
$OAB$ și $OBC$ sunt triunghiuri echilaterale $\Rightarrow AC = 2 AP = AB \sqrt{3} \Rightarrow \boxed{AC= 6\sqrt{3}}.$
$VEAC$ tetraedru regulat $\Rightarrow \boxed{VA=AC=6\sqrt{3}}.$

În triunghiul isoscel $VAB$ cu $VM$ înălție avem:
$VM^2=VA^2-AM^2 = 6^2\cdot 3 - 3^2 \Rightarrow \boxed{VM=3\sqrt{11}}.$