Piramida, piramida regulată, tetraedrul regulat

Tema 6

Lucian Maran, MateMaraton, 04-11-2024

Problema 1. Piramida regulată VABCVABC are baza un triunghi echilateral cu aria 36336\sqrt{3} cm2.^2. Dacă ∡VAB=30°,\measuredangle VAB=30\degree, calculați aria triunghiului VAB.VAB.

Mate2000, 6/111, **, E.416
Lipsește soluția

Problema 2. Fie VABCVABC o piramidă regulată. Știind că raza cercului circumscris bazei ABCABC este de 868\sqrt{6} cm și că ∡AVB=90°,\measuredangle AVB=90\degree, calculați lungimea muchiei laterale a piramidei.

Mate2000, 7/111, **, E.417
Lipsește soluția

Problema 3. Fie VABCDVABCD o piramidă patrulateră regulată cu VA=AB=12VA=AB=12 cm. Stabiliți natura triunghiului VACVAC și calculați aria acestuia.

Mate2000, 11/111, ***, E.419
Lipsește soluția

Problema 4. Fie piramida patrulateră VABCD,VABCD, în care baza ABCDABCD este un paralelogram, muchiile laterale sunt congruente și VA⊥VC, VB⊥VD.VA \perp VC,~ VB \perp VD. Dacă VA=32VA=3\sqrt{2} cm, calculați AB2+BC2.AB^2+BC^2.

Art, 18/106, ***, E.413
Soluție:

△AVC\triangle AVC dreptunghic isoscel ⇒AC=VA⋅2,\Rightarrow AC=VA\cdot\sqrt{2}, deci AC=6 cm.\boxed{AC=6 \text{ cm}}.
△AVC≡△BVD\triangle{AVC} \equiv \triangle{BVD} (L.U.L) ⇒AC=BD⇒ABCD\Rightarrow AC=BD \Rightarrow ABCD este dreptunghi ⇒ABC^=90°.\Rightarrow \boxed{\widehat{ABC} = 90\degree}.
△ABC\triangle ABC dreptunghic ⇒AB2+BC2=AC2=36.\Rightarrow AB^2 + BC^2 = AC^2=36.

Problema 5. Fie piramida hexagonală regulată VABCDEF,VABCDEF, având vârful în V.V. Dacă tetraedrul VEACVEAC este regulat, iar AB=6AB=6 cm, calculați lungimea înălțimii unei fețe laterale a piramidei VABCDEF.VABCDEF.

Art, 23/107, ***, E.414
Soluție:

Notă cu O centru hexagonului ABCDEFABCDEF (fig.2).
OABOAB și OBCOBC sunt triunghiuri echilaterale ⇒AC=2AP=AB3⇒AC=63.\Rightarrow AC = 2 AP = AB \sqrt{3} \Rightarrow \boxed{AC= 6\sqrt{3}}.
VEACVEAC tetraedru regulat ⇒VA=AC=63.\Rightarrow \boxed{VA=AC=6\sqrt{3}}.

În triunghiul isoscel VABVAB cu VMVM înălție avem:
VM2=VA2−AM2=62⋅3−32⇒VM=311.VM^2=VA^2-AM^2 = 6^2\cdot 3 - 3^2 \Rightarrow \boxed{VM=3\sqrt{11}}.

Problema 6. Fie VABCDVABCD o piramidă patrulateră regulată cu ∡AVB=90°.\measuredangle AVB=90\degree. Dacă VA=10VA=10 cm, calculați perimetrul lui ABCD.ABCD.

Mate2000, 9/111, ***, E.418
Lipsește soluția