Unghiuri suplementare, complementare, adiacente. Bisectoarea unui unghi

Tema 3

Lucian Maran, 23-09-2024

Problema 1. Se consideră unghiurile AOBAOB și BOC,BOC, astfel încât m(∡AOB)=ab‾°, m(∡BOC)=bc‾°m(\measuredangle AOB)=\overline{ab} \degree,~m(\measuredangle BOC)=\overline{bc} \degree și m(∡MON)=ac‾°,m(\measuredangle MON)=\overline{ac} \degree, unde [OM[OM este bisectoarea unghiului AOB, [ONAOB, ~[ON este bisectoarea unghiului BOC,BOC, iar a,ba, b și cc sunt cifre distincte în baza 10. Aflați valorile necunoscutelor aa, bb și cc.

Olimpiadă, etapa locală, Ialomița, 2020, E.280
Soluție:

Caz 1:

MON^=MOB^+BON^\widehat{MON}=\widehat{MOB} + \widehat{BON}
ac‾=ab‾2+bc‾2\overline{ac} = \dfrac{\overline{ab}}{2} + \dfrac{\overline{bc}}{2}
2(10a+c)=10a+b+10b+c2(10a+c) = 10a + b + 10b + c
20a+2c=10a+11b+c20a+2c = 10a+11b+c
10a+c=11b10a+c=11b, imposibil pt. că Uc(10a+c)=cU_c(10a+c)=c și Uc(11b)=b.U_c(11b)=b.

Caz 2:

MON^=MOB^−BON^\widehat{MON}=\widehat{MOB} - \widehat{BON}
ac‾=ab‾2−bc‾2\overline{ac} = \dfrac{\overline{ab}}{2} - \dfrac{\overline{bc}}{2}
2(10a+c)=10a+b−10b−c2(10a+c) = 10a + b - 10b - c
20a+2c=10a−9b−c20a+2c = 10a -9b - c
10a+9b+3c=010a+9b+3c=0, imposibil pt. că a,b>0a,b>0, c≥0.c \geq 0.

Caz 3:

MON^=BON^−MOB^\widehat{MON}=\widehat{BON} - \widehat{MOB}
ac‾=bc‾2−ab‾2\overline{ac} = \dfrac{\overline{bc}}{2} - \dfrac{\overline{ab}}{2}
2(10a+c)=10b+c−10a−b2(10a+c) = 10b + c - 10a - b
20a+2c=9b+c−10a20a+2c = 9b +c - 10a
30a+c=9b30a+c=9b

Cum 9b≤9⋅9⇒30a≤81⇒a∈{1,2}.9b \leq 9 \cdot 9 \Rightarrow 30a \leq81 \Rightarrow a \in \{1,2\}.

∙ Pentru a=1⇒30+c=9b⇒b=4,c=6.\quad \bullet \ \text{Pentru} \ \boxed{a=1} \Rightarrow 30+c=9b \Rightarrow \boxed{b=4}, \boxed{c=6}.
∙ Pentru a=2⇒60+c=9b⇒b=7,c=3.\quad \bullet \ \text{Pentru} \ \boxed{a=2} \Rightarrow 60+c=9b \Rightarrow \boxed{b=7}, \boxed{c=3}.

Problema 2. Fie punctele O,A,B,C,DO, A, B, C, D astfel încât BB se află în interiorul unghiului AOC,AOC, CC se află în interiorul unghiului BOD,BOD, m(∡AOD)=140°,m(\measuredangle AOD) = 140 \degree, b⋅m(∡AOB)=a⋅m(∡BOC)b \cdot m(\measuredangle AOB) = a \cdot m(\measuredangle BOC) și c⋅m(∡BOC)=b⋅m(∡COD),c \cdot m(\measuredangle BOC) = b \cdot m(\measuredangle COD), unde a,b,ca, b, c sunt numere prime distincte, astfel încât 7a+14b+2c=77.7a+14b+2c=77. Dacă OEOE este bisectoarea unghiului AOBAOB și OFOF este bisectoarea unghiului CODCOD, calculați măsura unghiului EOF.

Olimpiadă, etapa locală, Buzău, 2020, E.281
Soluție:

7a+14b+2c=777a + 14b + 2c = 77
7(a+2b)+2c=77⇒c=77(a + 2b) + 2c = 77 \Rightarrow \boxed{c=7} (singurul nr. prim multiplu de 77).

7(a+2b)+14=777(a + 2b) + 14 = 77
7(a+2b)=63∣:77(a + 2b) = 63 \quad \mid :7
a+2b=9a + 2b = 9
aa este impar, prim și diferit de 7⇒a∈{3,5}.7 \Rightarrow a \in \{3, 5\}.
∙ Pentru a=3⇒b=3\quad \bullet \ \text{Pentru} \ a = 3 \Rightarrow b = 3, nu convine (sunt identice).
∙ Pentru a=5⇒b=2\quad \bullet \ \text{Pentru} \ \boxed{a = 5} \Rightarrow \boxed{b=2}.

Notând x=m(∡AOB)x = m(\measuredangle AOB), y=m(∡BOC)y = m(\measuredangle BOC), z=m(∡COD)z = m(\measuredangle COD), avem:

{2x=5y(1)7y=2z(2)x+y+z=140(3) \begin{cases} 2x=5y \quad (1) \\ 7y=2z \quad (2) \\ x+y+z=140 \quad (3) \end{cases}

Fiindcă în primele două relații avem valorile pentru 2x2x și 2z2z, înmulțim relația (3)(3) cu 22:
2x+2y+2z=2802x+2y+2z=280
5y+2y+7y=2805y + 2y + 7y = 280
14y=280⇒y=20.14y = 280 \Rightarrow \boxed{y=20}.

Revenind la relațiile (1)(1) și (2)(2) obținem x=50\boxed{x=50} și z=70\boxed{z=70}.

m(∡EOF)=x2+y+z2=25+20+35m(\measuredangle EOF) = \dfrac{x}{2} + y + \dfrac{z}{2} = 25+20+35, deci m(∡EOF)=80°\boxed{m(\measuredangle EOF)=80\degree}.

Problema 3. Fie două unghiuri AOBAOB și AOCAOC complementare și neadicente. Știind că măsura unghiului format de bisectoarele lor este 30°,30\degree, calculați măsurile celor două unghiuri.

Olimpiadă, etapa locală, Caraș-Severin, 2020, E.292
Lipsește soluția