Exercițiul 690

E.690. Rezolvați ecuațiile:
a) x2=2009⋅2011+1;x^2=2009 \cdot 2011 + 1;
b) x2=2009⋅2010⋅2011⋅2012+1.x^2=2009 \cdot 2010 \cdot 2011 \cdot 2012 + 1.

Mate2000, 23/70, ***
Soluție
Soluție:

a) x2=(2010−1)(2010+1)+1=20102⇒x=±2010.x^2=(2010-1)(2010+1)+1 = 2010^2 \Rightarrow \boxed{x= \pm2010}.

b) Obs: Este mai ușor de rezolvat pe cazul general:
x2=n(n+1)(n+2)(n+3)+1, n∈Z.x^2=n(n+1)(n+2)(n+3)+1,~ n \in \Z.
x2=[n(n+3)]⋅[(n+1)(n+2)]=x^2 = [n(n+3)] \cdot [(n+1)(n+2)]=
=(n2+3n)(n2+3n+2)+1==(n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2)+1=
=pct.a(n2+3n)2⇒x=±(n2+3n).\overset{pct.a}{=}(n^2+3n)^2 \Rightarrow \boxed{x=\pm(n^2+3n)}.