E.242. În triunghiul ABCABCABC se consideră punctele E∈(BC)E\in (BC)E∈(BC) și D∈(BE)D\in (BE)D∈(BE) astfel încât BD=10BD=10BD=10 cm, DE=2DE=2DE=2 cm, EC=3EC=3EC=3 cm și BAE^=90°.\widehat{BAE}=90\degree.BAE=90°. Să se demonstreze că DAE^=EAC^.\widehat{DAE} = \widehat{EAC}.DAE=EAC.
Din ipoteză, ECED=BCBD\dfrac{EC}{ED}=\dfrac{BC}{BD}EDEC=BDBC
⇔AC⋅AE⋅sinA1AD⋅AE⋅sinA2=AB⋅AC⋅sin(90°+A1)AB⋅AD⋅sin(90°−A2)⇔\Leftrightarrow \dfrac{\cancel{AC}\cdot \cancel{AE} \cdot \sin{A_1}}{\cancel{AD}\cdot \cancel{AE} \cdot \sin{A_2}} = \dfrac{\cancel{AB}\cdot \cancel{AC} \cdot \sin{(90\degree + A_1)}}{\cancel{AB}\cdot \cancel{AD} \cdot \sin{(90\degree - A_2)}} \Leftrightarrow⇔AD⋅AE⋅sinA2AC⋅AE⋅sinA1=AB⋅AD⋅sin(90°−A2)AB⋅AC⋅sin(90°+A1)⇔
⇔sinA1sinA2=cosA1cosA2⇔sin(A1−A2)=0⇒A1=A2.\Leftrightarrow \dfrac{\sin{A_1}}{\sin{A_2}} = \dfrac{\cos{A_1}}{\cos{A_2}} \Leftrightarrow \sin{(A_1-A_2)}=0 \Rightarrow \boxed{A_1=A_2}.⇔sinA2sinA1=cosA2cosA1⇔sin(A1−A2)=0⇒A1=A2.
