Dreptunghiuri asemenea

Triunghiuri asemenea $\rightarrow$ păstrează raportul dintre laturi.
Dreptunghiuri asemenea $\rightarrow$ păstrează raportul dintre laturi.

Exemplul cu lupa.

Intrebare

De ce dimensiunea unui $A4$ este $210 \times 297~mm?$ De ce nu $210 \times 300?$ Sau $200 \times 300?$

Răspuns

Există două motive pentru care dimensiunea unui $A4$ este $210 \times 297$ mm:

În primul rând, vrem ca prin "dublare", raportul sa se păstreze;
În al 2-lea rând, vrem ca o coală A0 sa aibă aria $1$ m $^2.$

Păstrarea raportului prin dublare

La "dublare":

A4 $\rightarrow 210 \times 297~mm$ ;
A3 $\rightarrow 297 \times 420~mm$ (2 $\times$ A4);
A2 $\rightarrow 420 \times 594~mm$ (2 $\times$ A3);
A1 $\rightarrow 594 \times 841~mm$ (2 $\times$ A2, plus corecție);
A0 $\rightarrow 841 \times 1189~mm$ (2 $\times$ A1, plus corecție).

La "înjumătățire":

A5 $\rightarrow 148 \times 210~mm$ (A4 : 2, plus corecție);
A6 $\rightarrow 105 \times 148~mm$ (A3 : 2);
etc

Observații:

în toate cazurile, raportul dintre laturi este același ( $\approx 1,4142...$ ), adică $\sqrt{2};$
dacă înmulțim lungime și lățimea lui A0 obținem că aria cestui format este $1$ m $^2.$ Dar despre asta puțin mai târziu.

De ce este important ca raportul să rămâna același?

Dacă raportul se păstrează, avem câteva avantaje.

În primul rând, prin trecerea de la un format la altul (ex: A4 $\rightarrow$ A3) orice desen își păstrează aspectul (fără spații albe sau decupaje suplimentare). În limbaj matematic, spunem că desenele sunt asemenea:

cercurile rămân cercuri;
unghiurile nu se modifică;
distanțele relative rămân aceleași.

An alt avantaj ar fi acela că industria hârtiei poate produce fără pierderi:

o coală A0 se tai în două și se obțin două coli A1;
la rândul ei, dintr-o coală A1 se obțin două coli A2;
etc

De ce raportul dintre laturi este $\sqrt{2}$ ?

Notăm cu $r$ raportul dintre latura mare și latura mică. Din conția ca acest raport să se păstreze după "dublare", obținem $r= \dfrac{b}{a} = \dfrac{2a}{b},$ de unde rezultă $\boxed{r=\sqrt{2}}.$

De ce condiția ca aria lui A0 să fie $1$ m $^2$ ?

Din demonstrația de mai sus deducem că singura condiție necesară pentru ca un dreptunghi își păstreze raportul dintre laturi (prin "dublare" sau "înjumătățire") este că între cele două laturi ale sale să existe relația $\dfrac{b}{a}=\sqrt{2}.$ Deci o infinitate de variante.

Pentru a obține o pereche (a,b) unică, mai avem nevoie de o condiție. Această condiție este ca aria lui A0 să fie $1$ m $^2.$ Condiția a fost aleasă exclusiv pe considerente practice (calcule mai simple).

Exemplul 1. Poți calcula ușor consumul de hârtie. Dacă ai comandat 100 m² de hârtie, știi imediat că asta înseamnă:

100 coli A0;
200 coli A1;
400 coli A2;
1600 coli A4.

Exemplul 2. Sau poți calcula greutatea unei coli. Dacă hârtia are 80 g/m², atunci:

A0 cântărește 80 g;
A1 cântărește 40 g;
A2 cântărește 20 g;
A4 cântărește 5 g.

Obținerea dimensiunilor finale (pentru A0)

Din condițiile $\dfrac{b}{a}=\sqrt{2}$ și $a \cdot b = 1$ m $^2$ , obținem valorile lui $a$ și $b.$ Prin aproximare și trecere de la $m$ la $mm,$ obținem $A0(841,1189).$ De aici, prin înjumătăți succesive ale laturii mai lungi, obținem dimensiunile pentru celelalte formate.

Alte formate de hârtie

Formatele din Seria A sunt cele mai folosite (standard internațional ISO 216). Alte formate, mai rar folosite, sunt Letter și Legal:

A4 $\rightarrow 210 \times 297$ (mm). Folosit în toată lumea, mai puțin US și Canada;
Letter $\rightarrow 216 \times 279$ (mm). Folosit doar in US și Canada (pentru majoritatea documentelor);
Legal $\rightarrow 216 \times 356$ (mm). Folosit doar in US și Canada (pentru documente legale, oficiale).

Utilizare

Cu aceste formate ne întâlnim:

la librărie: caiet studențesc (A4), caiet simplu (A5);
la EN: ciorna (A4), foaia de examen (A3);
la opțiunile de tipărire (PC, telefon)

Resurse:

Materiale didactice

laptop (pentru prezentarea optiunilor care apar la tipărire);
o hârtie A4 + o hârtie A3 (model EN, prima pagină) + un caiet (A5) + o carte poștală (A6)

Dreptunghiuri asemenea