Exercițiul 953

E.953. Fie triunghiul ABC,ABC, cu OO centrul cercului circumscris. Dacă AOAO intersectează cercul (COB)(COB) în A′A' și BOBO intersectează cercul (COA)(COA) în B′,B', arătați că [AB′C][A′BC]=1+cos⁡2A1+cos⁡2B,\dfrac{[AB'C]}{[A'BC]} = \dfrac{1+\cos2A}{1+\cos2B}, unde AA și BB sunt unghiurile triunghiului ABC.ABC.

Mitch P, FB, Grupul profesorilor, 10.05.2025
Soluție
Soluție:

Din COAB′, COBA′COAB',~COBA' patrulatere inscriptibile și OAB, OBC, OCAOAB,~OBC,~OCA triunghiuri isoscele, avem:
Roșu:     C1=O1=O2=C2,~~~~C_1=O_1=O_2=C_2,
Verde:   B1′=C3=A1=B2′=O32=B22,~~B'_1=C_3=A_1=B'_2 = \dfrac{O_3}{2} = \dfrac{B_2}{2},
Albastru:  A1′=C4=B1=A2′=O42=A22.~A'_1=C_4=B_1=A'_2 = \dfrac{O_4}{2} = \dfrac{A_2}{2}.

sin⁡C1=sin⁡O1=sin⁡(2B2)=sin⁡(180−2(C3+C4),\sin C_1 = \sin O_1 = \sin (2B_2) = \sin (180-2(C_3+C_4), deci sin⁡C1=sin⁡2C.\boxed{\sin C_1 = \sin 2C}.
sin⁡B′=sin⁡(B1′+B2′)=sin⁡(A1+C3)=sin⁡(180−2(B1+B2)),\sin B' = \sin(B'_1+B'_2) = \sin (A_1+C_3) = \sin (180-2(B_1+B_2)), deci sin⁡B′=sin⁡2B.\boxed{\sin B' = \sin 2B}.

Notăm cu RR și R1R_1 razele cercurilor circumscrise triunghiurilor ABC,ABC, respectiv AB′C.AB'C. Din teorema sinusurilor, avem:

AC=2Rsin⁡BAC=2R1sin⁡B′=2R1sin⁡2B=4R1sin⁡Bcos⁡B}⇒R1=R2cos⁡B. \begin{rcases} AC = 2R\sin B \\ AC = 2R_1 \sin B' = 2R_1 \sin 2B = 4R_1 \sin B \cos B \end{rcases} \Rightarrow \boxed{R_1 = \dfrac{R}{2 \cos B}}.

Tot din teorema sinusurilor, AB′=2R1sin⁡C1=2⋅R2cos⁡Bsin⁡2C,AB' = 2R_1 \sin C_1 = 2 \cdot \dfrac{R}{2 \cos B} \sin 2C, deci AB′=Rsin⁡2Ccos⁡B.\boxed{AB' =\dfrac{R \sin 2C}{\cos B}}.

Analog (sau conform simetriei), A′B=Rsin⁡2Ccos⁡A.\boxed{A'B =\dfrac{R \sin 2C}{\cos A}}.

△AB′C∼△A′BC\triangle AB'C \sim \triangle A'BC (U.U) ⇒[AB′C][A′BC]=(AB′A′B)2=cos⁡2Acos⁡2B=1+cos⁡2A1+cos⁡2B.\Rightarrow \dfrac{[AB'C]}{[A'BC]} = \Big(\dfrac{AB'}{A'B}\Big)^2 = \dfrac{\cos^2 A}{\cos^2 B} = \dfrac{1+\cos2A}{1+\cos2B}.