E.864. Fie ABCDABCDABCD un tetraedru regulat, iar MMM și NNN mijloacele muchiilor BCBCBC și AD.AD.AD. Arătați că: a) (AMD)⊥(DBC);(AMD) \perp (DBC);\quad(AMD)⊥(DBC); b) (AMD)⊥(BNC).(AMD) \perp (BNC).(AMD)⊥(BNC).
a) AMAMAM și DMDMDM sunt înălțimi în triunghiuri echilaterale. Așadar, BC⊥AMBC⊥DMAM∩DM={M}}⇒BC⊥(AMD)(1). \begin{rcases} BC \perp AM \\ BC \perp DM \\ AM \cap DM = \{M\} \end{rcases} \Rightarrow \boxed{BC \perp (AMD) \quad (1).} BC⊥AMBC⊥DMAM∩DM={M}⎭⎬⎫⇒BC⊥(AMD)(1).
Dar BC⊂(DBC)⇒(DBC)⊥(AMD).BC \subset (DBC) \Rightarrow \boxed{(DBC) \perp (AMD).}BC⊂(DBC)⇒(DBC)⊥(AMD).
b) BC⊥(AMD) - din (1)BC⊂(NBC)}⇒(NBC)⊥(AMD). \begin{rcases} BC \perp (AMD) \text{ - din (1)} \\ BC \subset (NBC) \end{rcases} \Rightarrow \boxed{(NBC) \perp (AMD).} BC⊥(AMD) - din (1)BC⊂(NBC)}⇒(NBC)⊥(AMD).
