a) În triunghiul A ′ B C ′ , O ′ M A'BC',~O'M A ′ B C ′ , O ′ M O ′ N O'N O ′ N
O ′ M ∥ B N O ′ N ∥ B M } ⇒ B N O ′ M paralelogram. Dar B N = B M ⇒ B N O ′ M romb .
\begin{rcases}
O'M \parallel BN\\
O'N \parallel BM
\end{rcases} \Rightarrow BNO'M \text{ paralelogram. Dar } BN=BM \Rightarrow \boxed{BNO'M \text{ romb}}.\
O ′ M ∥ BN O ′ N ∥ BM } ⇒ BN O ′ M paralelogram. Dar BN = BM ⇒ BN O ′ M romb . Soluție alternativă :
B N = N O ′ = O ′ M = M B (jum a ˘ tate din diagonala unei fețe) B , N , O ′ , M coplanare - aparțin planului ( B A ′ C ′ ) } ⇒ B N O ′ M romb .
\begin{rcases}
BN=NO'=O'M=MB \text{ (jumătate din diagonala unei fețe)}\\
B,N,O',M \text{ coplanare - aparțin planului } (BA'C')
\end{rcases} \Rightarrow \boxed{BNO'M \text{ romb}}.\
BN = N O ′ = O ′ M = MB (jum a ˘ tate din diagonala unei fe ț e) B , N , O ′ , M coplanare - apar ț in planului ( B A ′ C ′ ) } ⇒ BN O ′ M romb . b)
B B ′ ⊥ ( A B C ) A C ⊂ ( A B C ) } ⇒ B B ′ ⊥ A C , sau A C ⊥ B B ′ .
\begin{rcases}
BB' \perp (ABC)\\
AC \subset (ABC)
\end{rcases} \Rightarrow BB' \perp AC, \text{ sau } \boxed{AC \perp BB'}.
B B ′ ⊥ ( A BC ) A C ⊂ ( A BC ) } ⇒ B B ′ ⊥ A C , sau A C ⊥ B B ′ .
M N ∥ A C (linie mijlocie ı ˆ n △ B ′ A C ) A C ⊥ B B ′ } ⇒ M N ⊥ B B ′ ( 1 ) .
\begin{rcases}
MN \parallel AC \text{ (linie mijlocie în } \triangle B'AC) \\
AC \perp BB'
\end{rcases} \Rightarrow \boxed{MN \perp BB'} \quad (1).
MN ∥ A C (linie mijlocie ı ˆ n △ B ′ A C ) A C ⊥ B B ′ } ⇒ MN ⊥ B B ′ ( 1 ) . M N ∥ A C A C ∥ A ′ C ′ A ′ C ′ ⊥ B ′ D ′ (diagonale ı ˆ n p a ˘ trat) } ⇒ M N ⊥ B ′ D ′ ( 2 ) .
\begin{rcases}
MN \parallel AC \\
AC \parallel A'C' \\
A'C' \perp B'D' \text{ (diagonale în pătrat) }
\end{rcases} \Rightarrow \boxed{MN \perp B'D'} \quad (2).
MN ∥ A C A C ∥ A ′ C ′ A ′ C ′ ⊥ B ′ D ′ (diagonale ı ˆ n p a ˘ trat) ⎭ ⎬ ⎫ ⇒ MN ⊥ B ′ D ′ ( 2 ) . Din (1), (2) și B B ′ ∩ B ′ D ′ = { B ′ } ⇒ M N ⊥ ( B B ′ D ′ ) . BB' \cap B'D' = \{B'\} \Rightarrow \boxed{MN \perp (BB'D')}. B B ′ ∩ B ′ D ′ = { B ′ } ⇒ MN ⊥ ( B B ′ D ′ ) . M N ⊂ ( M N D ) ⇒ ( M N D ) ⊥ ( B B ′ D ′ ) . MN \subset (MND) \Rightarrow \boxed{(MND) \perp (BB'D')}. MN ⊂ ( MN D ) ⇒ ( MN D ) ⊥ ( B B ′ D ′ ) .
c) Fie P P P B N O ′ M . BNO'M. BN O ′ M . B B ′ O ′ BB'O' B B ′ O ′ O ′ B = 6 2 = B D = O ′ D . O'B=6\sqrt{2}=BD=O'D. O ′ B = 6 2 = B D = O ′ D . △ B O ′ D \triangle BO'D △ B O ′ D ⇒ D P ⊥ B P , \Rightarrow DP \perp BP, ⇒ D P ⊥ BP , B P ⊥ D P . \boxed{BP \perp DP}. BP ⊥ D P . B P ⊥ M N BP \perp MN BP ⊥ MN B P ⊥ ( D P , M N ) = ( D M N ) . BP \perp (DP,MN)=(DMN). BP ⊥ ( D P , MN ) = ( D MN ) . B P ⊂ ( B M N ) ⇒ ( B M N ) ⊥ ( D M N ) . BP \subset (BMN) \Rightarrow \boxed{(BMN) \perp (DMN)}. BP ⊂ ( BMN ) ⇒ ( BMN ) ⊥ ( D MN ) .
