Exercițiul 861

E.861. Se consideră piramida patrulateră regulată VABCDVABCD cu toate muchiile de aceeași lungime. Notăm cu MM simetricul punctului AA față de B.B. Arătați că:
a) VA⊥VM;VA \perp VM;\quad b) (VAB)⊥(VMC).(VAB) \perp (VMC).

Art, 24/161, ***
Soluție
Soluție:

a) Notăm muchiile piramidei cu a.a. Cum MM este simetricul lui AA față de B⇒BM=a.B \Rightarrow \boxed{BM=a}.
În triunghiul isoscel VBM, ∡VBM=120°⇒∡VMB=30°.VBM,~ \measuredangle{VBM} = 120\degree \Rightarrow \boxed{\measuredangle{VMB} = 30\degree}.
În triunghiul VAM,∡A=60°,∡M=30°⇒∡AVM=90°⇒AV⊥VM(1).VAM, \measuredangle{A} = 60\degree, \measuredangle{M} = 30\degree \Rightarrow \measuredangle{AVM} = 90\degree \Rightarrow \boxed{AV \perp VM} \quad (1).

b) În triunghiul VAC,VA=VC=aVAC, VA=VC=a și AC=a2⇒RTPAV⊥VC.AC=a\sqrt{2} \overset{RTP}\Rightarrow \boxed{AV \perp VC}.

AV⊥VCAV⊥VM−din (1)VC∩VM={V}}⇒AV⊥(VMC). \begin{rcases} AV \perp VC \\ AV \perp VM - \text{din (1)} \\ VC \cap VM = \{V\} \end{rcases} \Rightarrow \boxed{AV \perp (VMC).}

Dar AV⊂(VAB)⇒(VAB)⊥(VMC).AV \subset (VAB) \Rightarrow \boxed{(VAB) \perp (VMC)}.