Exercițiul 860

E.860. Pe planul triunghiului ABC,ABC, cu ∡A=90°,\measuredangle {A}=90\degree, se ridică perpendiculara BM.BM.
a) Arătati că (MAB)⊥(MAC);(MAB) \perp (MAC);
b) Dacă BD⊥AM,BD \perp AM, cu D∈AM,D \in AM, arătați că (BDC)⊥(MAC).(BDC) \perp (MAC).

Art, 23/161, modificată ***
Soluție
Soluție:

a) MB⊥(ABC), AC⊂(ABC)⇒MB⊥ACMB \perp (ABC),~ AC \subset (ABC) \Rightarrow MB \perp AC, sau AC⊥MB.\boxed{AC \perp MB}.

AC⊥MBAC⊥AB (ip.)MB∩AB={B}}⇒AC⊥(MAB). \begin{rcases} AC \perp MB \\ AC \perp AB ~(ip.) \\ MB \cap AB = \{B\} \end{rcases} \Rightarrow \boxed{AC \perp (MAB).}

AC⊥(MAB)AC⊂(MAC)}⇒(MAC)⊥(MAB). \begin{rcases} AC \perp (MAB) \\ AC \subset (MAC) \end{rcases} \Rightarrow \boxed{(MAC) \perp (MAB).}

b) AC⊥(MAB), BD⊂(MAB)⇒AC⊥BDAC \perp (MAB),~ BD \subset (MAB) \Rightarrow AC \perp BD, sau BD⊥AC.\boxed{BD \perp AC}.

BD⊥ACBD⊥MA (ip.)AC∩MA={A}}⇒BD⊥(MAC). \begin{rcases} BD \perp AC \\ BD \perp MA~ (ip.) \\ AC \cap MA = \{A\} \end{rcases} \Rightarrow \boxed{BD \perp (MAC)}.

BD⊥(MAC)BC⊂(BDC)}⇒(BDC)⊥(MAC). \begin{rcases} BD \perp (MAC) \\ BC \subset (BDC) \end{rcases} \Rightarrow \boxed{(BDC) \perp (MAC)}.