Exercițiul 852

E.852. Fie paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' și punctele coplanare M,N,PM,N,P și QQ pe muchiile AA′,BB′,CC′AA', BB', CC' și DD′.DD'. Demonstrați că AM+CP=BN+DQ.AM+CP=BN+DQ.

Art, 24/136, ***
Indicații (3) | Soluție

Indicația 1: Teoremă. Dacă două plane paralele sunt intersectate de un al treile plan, atunci dreptele de intersecție sunt paralele.

Indicația 2: Se folosește teorema de mai sus pentru a demonstra că MNPQ este paralelogram.

Indicația 3: Dacă O și R sunt diagonalele patrulaterelor ABCD, respectiv MNPQ, atunci OR este linie mijlocie în trapezele ACPM și BDQN.

Soluție:

Teorema fierăstrăului ne spune că:

  • Planele paralele ADD′A′ADD'A' și BCC′B′BCC'B' sunt intersectate de planul MNPQMNPQ după dreptele paralele MQMQ și NP.NP.
  • Planele paralele ABB′A′ABB'A' și DCC′D′DCC'D' sunt intersectate de planul MNPQMNPQ după dreptele paralele MNMN și QP.QP.

Prin urmare, MNPQMNPQ este paralelogram. Dacă notăm cu RR intersecția diagonalelor acestui paralelogram, atunci MR=RPMR=RP și QR=RN.QR=RN.

  • În trapezul dreptunghic ACPM, ORACPM,~OR este linie mijlocie ⇒OR=AM+CP2.\Rightarrow OR=\dfrac{AM+CP}{2}.
  • În trapezul dreptunghic BDQN, ORBDQN,~OR este linie mijlocie ⇒OR=BN+DQ2.\Rightarrow OR=\dfrac{BN+DQ}{2}.

Din ultimele două relații rezultă AM+CP=BN+DQ.\boxed{AM+CP=BN+DQ}.