Exercițiul 759

E.759. Pe arcul mic CDCD al cercului circumscris pentagonului regulat ABCDEABCDE se consideră un punct arbitrar M.M. Să se arate că:

MDMA−MB=MCMA−ME=ϕ\dfrac{MD}{MA-MB} = \dfrac{MC}{MA-ME} = \phi\quad (numărul de aur).

Vasile Masgras, https://www.facebook.com/groups/profesoridematematica/posts/4189423384678991/
Soluție
Soluție:

MD⋅AB=PtolemeuMA⋅BD−MB⋅ADMD \cdot AB \overset{Ptolemeu}{=} MA \cdot BD - MB \cdot AD

⇔AD=BDMDMA−MB=BDAB=ϕ (numa˘rul de aur).\overset{AD=BD}{\Leftrightarrow} \boxed{\dfrac{MD}{MA-MB}=\dfrac{BD}{AB}=\phi} ~\text{(numărul de aur)}.

Analog pentru cealaltă egalitate.

Notă: Într-un pentagon regulat avem următoarea proprietate: DL=1+52=ϕ (numa˘rul de aur), unde:\boxed{\dfrac{D}{L} = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} = \phi} ~\text{(numărul de aur), unde:}

  • D - diagonala pentagonului (distanța dintre două vârfuri nealăturate);
  • L - latura pentagonului.