Exercițiul 757

E.757. Fie prisma patrulateră regulată ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' cu lungimea laturii bazei AB=4AB = 4 cm şi înălţimea AA′=8AA' = 8 cm.
(2p) a) Arătaţi că volumul prismei este 128 cm3^3.
(3p) b) Aflaţi distanţa de la punctul QQ la planul (ACC′),(ACC'), unde QQ este punctul de intersecţie a dreptelor AD′AD' şi A′D.A'D.

Matemanie+, Simulare EN, 31 mai 2025
Soluție
Soluție:

d(Q,(ACC′))=d(Q,(AMA′))=hd(Q,(ACC')) = d(Q,(AMA'))=h (notație).

d(M,(A′AQ))=d(M,DD′)=4.d(M,(A'AQ)) = d(M, DD')=4.

VQA′AM=AA′AM⋅h3=AA′AQ⋅43(1).V_{QA'AM}=\dfrac{A_{A'AM} \cdot h}{3} = \dfrac{A_{A'AQ} \cdot 4}{3} \quad (1).

AA′AM=CA⋅AA′2=162.A_{A'AM}=\dfrac{CA \cdot AA'}{2}=16\sqrt{2}.

AA′AQ=AD⋅AA′4=8.A_{A'AQ}=\dfrac{AD \cdot AA'}{4} = 8.

Înlocuid în (1) obținem h=2.\boxed{h=\sqrt{2}}.