Exercițiul 731

E.731. Scriem la rând 20242024 de numere naturale nenule distincte, cu proprietatea că suma oricăror două numere vecine este un număr par.
a) Arătați că oricum am alege șapte numere dintre cele 20242024 de numere, există cel puțin două numere a căror diferență este divizibilă cu 12.12.
b) Demonstrați că cea mai mică sumă posibilă a celor 20242024 de numere este un număr pătrat perfect.

Olimpiadă, etapa locală, Ilfov, 2024
Soluție
Soluție:

a) Diferența a două numere este divizibilă cu 1212 dacă numerele dau același rest la împărțirea cu 12.12. Prin urmare, este suficient să arătăm că printre cele 77 numere există două care dau același rest la împărțirea cu 12.12.

Deoarece suma oricăror două numere alăturate este pară, toate numerele au aceeași paritate.

  • Dacă toate numerele sunt pare, ele dau rest par la împărțirea cu 1212 și pot fi de forma 12ki+r, r∈{0,2,4,6,8,10}.12k_i+r,~r \in \{0,2,4,6,8,10\}.
  • Dacă toate numerele sunt impare, ele dau rest impar la împărțirea cu 1212 și pot fi de forma 12ki+r, r∈{1,3,5,7,9,11}.12k_i+r,~r \in \{1,3,5,7,9,11\}.

În fiecare caz în parte sunt 66 resturi posibile. Așadar, alegem:

  • 6 cutii, corespunzătoare celor 66 forme posibile;
  • 7 obiecte, corespunzătoare celor 77 numere alese.

Conform principiului cutiei, există cel puțin două numere care dau același rest la împărțirea cu 12,12, deci diferența lor va fi divizibilă cu 12.12.

b) Pentru că numerele sunt nenule, cea mai mică sumă se obține pentru primele 20242024 de numere impare consecutive:
S=1+3+5+…+4047=20242.S=1+3+5+ \ldots + 4047 =2024^2.