Exercițiul 727

E.727. Arătați că:
a) din orice 1010 numere naturale nenule putem alege două care încep cu aceeași cifră;
b) din orice 1111 numere naturale putem alege două care se termină cu aceeași cifră.

Art, Matematică pentru excelență, 29/136
Soluție
Soluție:

a) Considerăm:

  • 99 cutii, corespunzătoare celor 99 cifre cu care poate începe un număr nenul;
  • 1010 obiecte, corespunzătoare celor 1010 numere nenule alese.

Conform principiului cutiei, cel puțin o cutie va conține mai mult de un obiect. Altfel spus, printre cele 1010 numere disponibile există cel puțin două numere care încep cu aceeași cifră.

b) Considerăm:

  • 1010 cutii, corespunzătoare celor 1010 cifre cu care se poate termina un număr natural;
  • 1111 obiecte, corespunzătoare celor 1111 numere alese.

Conform principiului cutiei, cel puțin o cutie va conține mai mult de un obiect. Altfel spus, printre cele 1111 numere disponibile există cel puțin două numere care se termină cu aceeași cifră.