Exercițiul 724

E.724. Arătați că oricum am alege nouă numere naturale, găsim trei dintre ele astfel încât suma sau diferența oricăror două să dea un multiplu al lui 7.

Olimpiadă, etapa locală, Olt, 2018
GM 3/2017
Soluție
Soluție:

La împărțirea cu 77 putem obține resturile: 0,1,2,3,4,50, 1, 2, 3, 4, 5 sau 6.6. Să vedem întâi cum am putea grupa aceste numere pentru a obține triplete cu proprietatea din enunț:

  • {0,0,0}\{0,0,0\};
  • {1,1,1},{1,1,6},{1,6,1},{1,6,6},{6,1,1},{6,1,6},{6,6,1},{6,6,6}\{1,1,1\}, \{1,1,6\}, \{1,6,1\}, \{1,6,6\},\{6,1,1\}, \{6,1,6\},\{6,6,1\},\{6,6,6\} (toate combinațiile de 11 și 66);
  • {2,2,2},{2,2,5},…,{5,5,5}\{2,2,2\}, \{2,2,5\}, \ldots,\{5,5,5\};
  • {3,3,3},{3,3,4},…,{4,4,4}\{3,3,3\}, \{3,3,4\}, \ldots,\{4,4,4\}.

De aici ne vine ideea să folosim principiul cutiei, cu 44 cutii:

  • numere care dau restul 0;0;
  • numere care dau restul 11 sau 6;6;
  • numere care dau restul 22 sau 5;5;
  • numere care dau restul 33 sau 4.4.

Având 99 numere, există cel puțin o cutie cu 33 numere. Acestea sunt numerele căutate.
Justificare: Pentru oricare două dintre cele trei numere din aceeași cutie avem două posibilități:

  • cele două numere dau același rest și atunci diferența lor se divide cu 7;7;
  • cele două numere dau resturi diferite și atunci suma lor se divide cu 7.7.