Exercițiul 724
E.724. Arătați că oricum am alege nouă numere naturale, găsim trei dintre ele astfel încât suma sau diferența oricăror două să dea un multiplu al lui 7.
Olimpiadă, etapa locală, Olt, 2018
GM 3/2017
Soluție:
La împărțirea cu
; (toate combinațiile de și ); ; .
De aici ne vine ideea să folosim principiul cutiei, cu
- numere care dau restul
- numere care dau restul
sau - numere care dau restul
sau - numere care dau restul
sau
Având
Justificare: Pentru oricare două dintre cele trei numere din aceeași cutie avem două posibilități:
- cele două numere dau același rest și atunci diferența lor se divide cu
- cele două numere dau resturi diferite și atunci suma lor se divide cu