Exercițiul 596

E.596. Dacă într-o bibliotecă se așază câte 2828 cărți pe fiecare poliță, rămân 1010 cărți neașezate. Dacă se așază câte 4040 de cărți pe poliță, rămân 44 polițe goale și o poliță cu doar 3030 de cărți. (Toate cărțile au același format.)
a. Calculați numărul total de cărți.
b. Dacă la bibliotecă se mai aduc 490490 de cărți, care este numărul minim de polițe ce mai trebuie montate pentru ca toate cărțile să fie distribuite în mod egal pe toate polițele bibliotecii. Se știe că o poliță nu suportă mai mult de 4040 de cărți.

Admitere Loga, 2021
Răspuns | Soluție

Răspuns: a) 430.430. b) 8.8.

Soluție:

a) Notăm cu cc și pp numărul de cărți, respectiv numărul de polițe.

{c=28p+10c=40(p−5)+30⇒28p+10=40p−200+30⇒p=15. \begin{cases} c=28p+10 \\ c=40(p-5)+30 \end{cases} \Rightarrow 28p+10 = 40p-200+30 \Rightarrow \boxed{p=15}.
c=28⋅15+10⇒c=430.c=28 \cdot 15+10 \Rightarrow \boxed{c=430}.

b) În total avem 430+490=920430+490=920 cărți.
Ca să obținem un număr minim de polițe, trebuie ca pe fiecare poliță sa punem cât mai multe cărți. La încărcarea maximă, aceste cărți le putem repartiza pe 920:40=23920:40=23 polițe.
Prin urmare, mai trebuie să aducem 23−15=823-15=8 polițe.