Exercițiul 593

E.593. Victor are jetoane albe și roșii. Dacă face grupe de 22 jetoane albe și 33 roșii rămân negrupate 11 jeton roșu și 33 albe, iar dacă grupează 33 jetoane albe și 22 roșii rămân negrupate 22 albe și 1717 roșii.
a) Câte jetoane albe și câte roșii sunt?
b) Victor pierde de trei ori mai multe jetoane albe decât roșii și constată că numărul jetoanelor roșii este de 55 ori mai mare decât numărul de jetoane albe. Câte jetoane roșii a pierdut?

Admitere Loga, 2024
Răspuns | Soluție

Răspuns: a) 2323 albe, 3131 roșii. b) 6.6.

Soluție:

a) Notăm cu aa și rr numărul de jetoane albe, respectiv roșii.
Notăm cu xx și yy numărul de grupe pe care Victor le formează în primul, respectiv în al doilea scenariu.

Scenariul 1:{a=2x+3r=3x+1⇔{x=(a−3):2x=(r−1):3⇒(a−3):2=(r−1):3⇒3a=2r+7. \text{Scenariul 1:} \begin{cases} a=2x+3 \\ r=3x+1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=(a-3):2 \\ x=(r-1):3 \end{cases} \Rightarrow (a-3):2 = (r-1):3 \Rightarrow \boxed{3a=2r+7}.

Scenariul 2:{a=3y+2r=2y+17⇔{y=(a−2):3y=(r−17):2⇒(a−2):3=(r−17):2⇒2a+47=3r. \text{Scenariul 2:} \begin{cases} a=3y+2 \\ r=2y+17 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y=(a-2):3 \\ y=(r-17):2 \end{cases} \Rightarrow (a-2):3 = (r-17):2 \Rightarrow \boxed{2a+47=3r}.

Din ultimele două relații, avem:

{3a=2r+7∣⋅22a+47=3r∣⋅2⇔{6a=4r+146a+141=9r⇒(−)141=5r−14⇒r=31. \begin{cases} 3a=2r+7 \quad | \cdot 2 \\ 2a+47=3r \quad | \cdot 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 6a=4r+14 \\ 6a+141=9r \end{cases} \overset{(-)}{\Rightarrow} 141=5r-14 \Rightarrow \boxed{r=31}.
3a=2⋅31+7⇒a=23.3a=2 \cdot 31 + 7 \Rightarrow \boxed{a=23}.

b) Notăm cu pp numărul de jetoane roșii pierdute și cu nn numărul de jetoane albe rămase.

{23−3p=n31−p=5n⇔{n+3p=23∣⋅55n+p=31⇔{5n+15p=1155n+p=31⇒(−)14p=84⇒p=6. \begin{cases} 23-3p=n \\ 31-p=5n \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} n+3p=23 \quad | \cdot 5\\ 5n+p=31 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 5n+15p=115\\ 5n+p=31 \end{cases} \overset{(-)}{\Rightarrow} 14p=84 \Rightarrow \boxed{p=6}.