Exercițiul 592

E.592. Dacă elevii unei clase se așează câte patru în bancă, atunci rămân cinci bănci libere, iar dacă se așează câte trei într-o bancă, rămân două bănci libere, iar într-o bancă stă un singur elev.
a) Câți elevi și câte bănci sunt în clasă?
b) Care este cel mai mic număr de elevi care ar trebui să vină în această clasă, astfel încât în fiecare bancă să stea același număr de elevi?

Admitere Loga, model, 2024
Răspuns | Soluție

Răspuns: a) 1212 bănci și 2828 elevi. b) 88 elevi.

Soluție:

a) Notăm cu ee și bb numărul de elevi, respectiv numărul de bănci.

{e=4⋅(b−5)e=3⋅(b−3)+1⇒4b−20=3b−9+1⇒b=12. \begin{cases} e = 4 \cdot (b-5) \\ e = 3 \cdot (b-3) + 1 \end{cases} \Rightarrow 4b -20 = 3b -9 + 1 \Rightarrow \boxed{b=12}.
e=4⋅(12−5)⇒e=28.e=4 \cdot (12-5) \Rightarrow \boxed{e=28}.

b) Inițial avem 1212 bănci și 2828 elevi.
28:12=2,28:12=2, rest 4.4. Așadar:

  • dacă elevii stau câte 22 în bancă (sau mai puțini), o parte vor sta în picioare. Nu convine;
  • dacă elevii stau câte 33 în bancă, mai trebuie să vină 3⋅12−28=83 \cdot 12 - 28= 8 elevi;
  • dacă elevii stau câte 44 în bancă (sau mai mulți), mai trebuie să vină 4⋅12−28=204 \cdot 12 - 28= 20 elevi (sau mai mulți);

Prin urmare, numărul minim de elevi care mai trebuie să vină este 8.8.