Exercițiul 248

E.248. În tetraedrul ABCDABCD, fie GG centrul de greutate al triunghiului ABCABC și punctele P∈(AC),P\in(AC), Q∈(AB)Q \in (AB) astfel încât PP, GG și QQ să fie coliniare. Dacă V,V, V1,V_1, V2V_2 sunt volumele tetraedrelor ABCD,ABCD, PABDPABD și QACD,QACD, demonstrați că 2V≤3V1V2.2V \leq 3 \sqrt{V_1V_2}.

Florin Nicolaescu
Soluție
Soluție:

VV1⋅VV2=[ABC][PAB]⋅[ABC][QAC]=CAPA⋅BAQA≤AM−GM14(CAPA+BAQA)2=14(2+PCPA+QBQA⏟=1 (*))2=94.\dfrac{V}{V_1} \cdot \dfrac{V}{V_2} = \dfrac{[ABC]}{[PAB]} \cdot \dfrac{[ABC]}{[QAC]} = \dfrac{CA}{PA} \cdot \dfrac{BA}{QA} \overset{AM-GM}{\leq} \dfrac{1}{4}\Big(\dfrac{CA}{PA} + \dfrac{BA}{QA}\Big)^2 = \dfrac{1}{4}\Big(2 + \underbrace{\dfrac{PC}{PA} + \dfrac{QB}{QA}}_{\text{=1 (*)}}\Big)^2 = \dfrac{9}{4}.
(*) - Teorema transversalei, cazul particular când transversala trece prin G.G.