Exercițiul 244

E.244. Lemă. Dacă ABDCABDC inscriptibil și ABFEABFE inscriptibil cu C∈(AE)C \in (AE), D∈(BF),AC≠BDD \in (BF), AC \not=BD și CE=DF,CE=DF, atunci CE∥DF.CE \parallel DF.

Reciproc. Dacă ABDCABDC inscriptibil cu AC∥BDAC \parallel BD și E∈(ACE \in (AC, F∈(BDF \in (BD astfel încât CE=DF,CE=DF, atunci ABFEABFE inscriptibil.

L. Măran
Soluție
Soluție:

Presupunem, prin absurd, că AC∦BD.AC \not\parallel BD. Fie AC∩BD={G},AC \cap BD = \{G\}, cu A∈(CG).A \in (CG).

GA⋅GC=GB⋅GDGA⋅GE=GB⋅GF}⇒GCGE=GDGF⇔GCCE=GDDF⇔GC=GD. \begin{rcases} GA \cdot GC = GB \cdot GD \\ GA \cdot GE = GB \cdot GF \end{rcases} \Rightarrow \dfrac{GC}{GE} = \dfrac{GD}{GF} \Leftrightarrow \dfrac{GC}{CE} = \dfrac{GD}{DF} \Leftrightarrow \boxed{GC=GD}.

Deci △GCD\triangle GCD isoscel ⇒ACD^=BDC^⇒BD⏠=AC⏠⇒BD=AC\Rightarrow \widehat{ACD} = \widehat{BDC} \Rightarrow \overgroup{BD} = \overgroup{AC} \Rightarrow BD=AC - contradicție.
Similar se tratează cazul E∈(CG).E \in (CG).

Reciproc. DF∥=CE⇒DFECDF \parallel = CE \Rightarrow DFEC paralelogram ⇒EF=CD\Rightarrow \boxed{EF=CD} (1).
ABDCABDC inscriptibil și BD∥AC⇒CD=ABBD \parallel AC \Rightarrow \boxed{CD=AB} (2).

Din (1), (2) și BF∥AE⇒ABFE inscriptibil.BF \parallel AE \Rightarrow \boxed{ABFE \text{ inscriptibil}}.