Exercițiul 243

Fie $C_1 \cap C_2 = \{A,P\} \Rightarrow O_1O_2$ este mediatoarea segmentului $AP.$ Fie $AB \cap O_1O_2=\{M\}.$
Pe dreapta $PM$ alegem punctele $H$, $I$ și $J$ ca simetrice ale lui $B$, $D$, respectiv $F$ în raport cu $O_1O_2.$

Din $CE=HI \overset{Lema *}{\Rightarrow} \boxed{CE \parallel HI}.$

Din $EG \parallel IJ$ și $EG = IJ \overset{Reciprocă~Lema *}{\Rightarrow} \boxed{P,A,G,J \text{ conciclice}}$ (1).
Dar $PAJF$ trapez isoscel $\Rightarrow \boxed{P,A,J,F \text{ conciclice}}$ (2).

Din (1) și (2) rezultă $\boxed{P,A,G,F \text{ conciclice}},$ adică concluzia.