Exercițiul 236

E.236. Se dau 3 cercuri secante două câte două. Demonstrați că cele 3 coardele comune sunt concurente.

Teorema celor trei coarde a lui Monge
Soluție
Soluție:

Folosim doar puterea punctului față de cerc:
NE⋅NF=NL⋅NA=NM⋅ND,NE \cdot NF = \boxed{NL \cdot NA = NM \cdot ND}, adică (DN−DL)⋅NA=(AN−AM)⋅ND.(\cancel{DN}-DL) \cdot NA = (\cancel{AN}-AM) \cdot ND.

⇒MALD=NAND.\Rightarrow \boxed{\dfrac{MA}{LD} = \dfrac{NA}{ND}}. Analog, IDHF=ODOF\boxed{\dfrac{ID}{HF} =\dfrac{OD}{OF}} și KFJA=SFSA(1).\boxed{\dfrac{KF}{JA} = \dfrac{SF}{SA}} \quad (1).

Pe de altă parte,

FK⋅FA=FH⋅FDDI⋅DF=DL⋅DAAM⋅AD=AJ⋅AF}⇒MALD⋅IDHF⋅KFJA=1⇒(1)NAND⋅ODOF⋅SFSA=1⇒ concluzia. \begin{rcases} FK \cdot FA = FH \cdot FD \\ DI \cdot DF = DL \cdot DA \\ AM \cdot AD = AJ \cdot AF \end{rcases} \Rightarrow \boxed{\dfrac{MA}{LD} \cdot \dfrac{ID}{HF} \cdot \dfrac{KF}{JA} = 1} \overset{(1)}{\Rightarrow} \boxed{\dfrac{NA}{ND} \cdot \dfrac{OD}{OF} \cdot \dfrac{SF}{SA} = 1} \Rightarrow \text{ concluzia}.