Exercițiul 234

E.234. Se consideră triunghiul ascuțitunghic ABCABC și A′A', B′B' respectiv C′,C', mijloacele arcelor mici BC⏠,\overgroup{BC}, CA⏠,\overgroup{CA}, respectiv AB⏠\overgroup{AB} ale cercului circumscris triunghiului ABC.ABC. Fie II centrul cercului înscris în triunghiul ABC.ABC. Demomnstrați că punctul II este ortocentrul triunghiului A′B′C′.A'B'C'.

Grupul Matelteu, Simona Patachia, 21.06.2024 (ajutor)
Soluție
Soluție:

I - centrul cercului ıˆnscris ⇒BI este bisectoarea lui ABC^AB′⏠=B′C⏠⇒BB′ este bisectoarea lui ABC^}⇒B,I,B′ coliniare(1) \begin{rcases} I \text{ - centrul cercului înscris } \Rightarrow BI \text{ este bisectoarea lui } \widehat{ABC} \\ \overgroup{AB'} = \overgroup{B'C} \Rightarrow BB' \text{ este bisectoarea lui }\widehat{ABC} \end{rcases} \Rightarrow \boxed{B, I, B' \text{ coliniare}} \quad (1)
A1′^=A2′^C1′^=C2′^}⇒A′BC′I zmeu ⇒IB⊥A′C′(2) \begin{rcases} \widehat{A'_1} = \widehat{A'_2} \\ \widehat{C'_1} = \widehat{C'_2} \end{rcases} \Rightarrow A'BC'I \text{ zmeu } \Rightarrow \boxed{IB \perp A'C'} \quad (2)

Analog, A,I,A′ coliniare (3)\boxed{A, I, A' \text{ coliniare }} \quad (3) și IA⊥B′C′(4)\boxed{IA \perp B'C'} \quad (4)

Din (1), (2), (3) și (4) rezultă concluzia.