Exercițiul 224

E.224. Fie ABCDABCD un pătrat, MM mijlocul laturii ADAD și CP⊥BMCP \perp BM, P∈BM.P \in BM.
a) Calculați măsura unghiului APMAPM.
b) Calculați valoarea raportului PMPB.\dfrac{PM}{PB}.

Olimpiadă, etapa județeană, 2024, clasa a 7-a (adaptare)
Soluție
Soluție:

a) Fie CP∩AB={F},CP \cap AB = \{F\}, AP∩BC={G},AP \cap BC = \{G\}, BM∩AC={K}.BM \cap AC = \{K\}.
AF=FB,AF=FB, punctele C,P,FC,P,F coliniare ⇒KG∥AB\Rightarrow \boxed{KG \parallel AB}

KPC^=KGC^⇒KPGC\widehat{KPC} = \widehat{KGC} \Rightarrow KPGC inscriptibil →APM^=KCG^=45°.\rightarrow \boxed{\widehat{APM} = \widehat{KCG} = 45\degree}.

b) GCGB=KCKA=BCMA=2⇒BCGB=3⇒PMPB=AMGB=BC2GB=32.\dfrac{GC}{GB} = \dfrac{KC}{KA} = \dfrac{BC}{MA} = 2 \Rightarrow \boxed{\dfrac{BC}{GB}=3} \Rightarrow\dfrac{PM}{PB}=\dfrac{AM}{GB}=\dfrac{BC}{2GB} = \dfrac{3}{2}.