Exercițiul 210

E.210. Din punctul AA, exterior unui cerc de centru OO, se construiesc tangentele ABAB și ACAC (BB, C∈CC \in \cal{C}). Să se demonstreze următoarele proprietăți:
a) AB=ACAB=AC (teorema ciocului de cioară);
b) OAOA împarte unghiurile BACBAC și BOCBOC în două părți egale;
c) OAOA este mediatoarea segmentului BC.BC.

Proprietăți ale tangentelor dintr-un punct exterior
Soluție
Soluție:

a) OB=OCOB=OC (raze) ⇒△ABO≡△ACO\Rightarrow \triangle ABO \equiv \triangle ACO (C.I.), deci AB=AC.\boxed{AB=AC}.

b) Tot din △ABO≡△ACO\triangle ABO \equiv \triangle ACO rezultă A^1=A^2\boxed{\widehat{A}_1 = \widehat{A}_2} și O^1=O^2.\boxed{\widehat{O}_1 = \widehat{O}_2}.

c) ABC^=ACB^ (=BC⏠2)⇒△ABD≡△ACD (U.L.U.)⇒DB=DC\widehat{ABC} = \widehat{ACB} ~\Big(= \dfrac{\overgroup{BC}}{2}\Big) \Rightarrow \triangle ABD \equiv \triangle ACD ~(U.L.U.) \Rightarrow \boxed{DB=DC} și ADB^=ADC^\widehat{ADB} = \widehat{ADC} (adică ADB^=90°\boxed{\widehat{ADB}=90\degree}). Prin urmare, dreapta OAOA este mediatoarea segmentului BC.BC.