Exercițiul 209

E.209. Fie cercul C1\cal{C}_1 de centru OO și AA un punct exterior acestuia. Notăm cu CC mijlocul segmentului OAOA și construim cercul C2\cal{C}_2 cu centrul în CC și rază CO.CO. Dacă BB este unul din cele două puncte de intersecție ale cercurilor C1\cal{C}_1 și C2\cal{C}_2, să se demonstreze că AB⊥OB.AB \perp OB.

Construcția tangentei
Soluție
Soluție:


Soluția 1. Folosim teorema care spune că într-un triunghi dreptunghic, mediana corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză, și reciproc.
CO=CA=CBCO=CA=CB (raze în cercul C2\cal{C}_2) ⇒ABO^=90°.\Rightarrow \boxed{\widehat{ABO}=90\degree}.

Soluția 2. Triunghiul ABCABC este isoscel (CACA și CBCB sunt raze) ⇒ABC^=BCO^2.\Rightarrow \widehat{ABC}= \dfrac{\widehat{BCO}}{2}.
Triunghiul BCOBCO este isoscel (CBCB și COCO sunt raze) ⇒CBO^=180°−BCO^2.\Rightarrow \widehat{CBO}= \dfrac{180\degree - \widehat{BCO}}{2}.
Adunând ultimele două relații obținem ABO^=90°.\boxed{\widehat{ABO}=90\degree}.