Exercițiul 208

E.208. Măsura unui unghi cu vârful în exteriorul unui cerc, care are laturile tangente la cerc, este egală cu jumătate din valoarea absolută a diferenței măsurilor arcelor cuprinse între laturile sale.

Unghi exterior cercului (caz particular)
Soluție
Soluție:


ABAB și ACAC tangente ⇒ABO^=ACO^=90°.\Rightarrow \widehat{ABO} = \widehat{ACO} = 90 \degree.
În patrulaterul ABOCABOC, BAC^=360°−B^−C^−BOC^=180°−BOC^=BDC⏠+BC⏠2−BC⏠\widehat{BAC} = 360\degree - \widehat{B} - \widehat{C} - \widehat{BOC} = 180\degree - \widehat{BOC} = \dfrac{\overgroup{BDC} + \overgroup{BC}}{2} - \overgroup{BC}, deci BAC^=BDC⏠−BC⏠2.\boxed{\widehat{BAC} = \dfrac{\overgroup{BDC} - \overgroup{BC}}{2}}.

Remmarcă: Unghiul BAC^\widehat{BAC} este un caz particular de unghi exterior cercului, deci formula dată ar fi putut fi justificată și cu formula unghiului exterior.