Exercițiul 206

"$\Rightarrow$": Considerăm că $d \cap \cal{C}$$(O, r)=\{A\}$ și demonstrăm că $d \perp OA$.

Presupunem, prin absurd, că $d$ nu este perpendiculară pe $OA$. Așadar, putem construi $OB \perp d$, cu $B \not= A.$
În $\triangle OBA$, $\widehat{B}=90\degree \Rightarrow OA$ este ipotenuză, deci $OB<OA=r.$ Punctul $B$ fiind în interiorul cercului, rezultă că dreapta $AB$ va intersecta cercul în încă un punct, în contradicție cu presupunerea făcută. Prin urmare, $\boxed{d \perp OA}.$

"$\Leftarrow$": Considerăm că $A \in \cal{C}$$(O, r),~~d \perp OA$ și demonstrăm că $d \cap \cal{C}$$(O, r)=\{A\}$.

Presupunem, prin absurd, că dreapta $d$ intersectează cercul în încă un punct $B$. Deci $OA=OB \Rightarrow \widehat{OBA}=\widehat{OAB}=90\degree$, adică $\widehat{AOB}=0\degree$, ceea ce înseamnă că punctele $A$ și $B$ coincid, asta în contradicție cu presupunerea făcută. Prin urmare, dreapta $d$ intersectează cercul într-un singur punct, adică este tangentă la cerc.