Exercițiul 181

E.181. Pe prelungirea unei coarde ABAB a unui cerc de centru OO se construiește segmentul BCBC, de lungime egală cu raza cercului. Secanta COCO intersectează cercul în punctul EE astfel încât O∈(CE).O \in (CE). Arătați că ∡AOE=3⋅∡ACO.\measuredangle {AOE} = 3 \cdot \measuredangle {ACO}.

Art, 23/127, ***
Indicații (2) | Soluție

Indicația 1: △OBC\triangle OBC isoscel ⇒∡C=∡BOC.\Rightarrow \measuredangle C = \measuredangle BOC.

Indicația 2: C^=AE⏠−BD⏠2=AOE^−BOC^2=AOE^−C^2.\widehat{C} = \dfrac{\overgroup {AE} - \overgroup{BD}}{2} = \dfrac{\widehat{AOE} - \widehat{BOC}}{2} = \dfrac{\widehat{AOE} - \widehat{C}}{2}.

Soluție:


Din BO=BC⇒O2^=C^.BO=BC \Rightarrow \boxed{\widehat {O_2} = \widehat{C}}.

C^=AE⏠−BD⏠2=O1^−O2^2=O1^−C^2.\widehat{C} = \dfrac{\overgroup {AE} - \overgroup{BD}}{2} = \dfrac{\widehat{O_1} - \widehat{O_2}}{2} = \dfrac{\widehat{O_1} - \widehat{C}}{2}.
Deci 2⋅C^=O1^−C^⇒O1^=3⋅C^.2 \cdot \widehat{C} = \widehat{O_1} - \widehat{C} \Rightarrow \boxed{\widehat{O_1} = 3 \cdot \widehat{C}}.