Exercițiul 179

E.179. Fie OO centrul comun a două cercuri și ABAB, CDCD două coarde ale cercului mare, tangente cercului mic. Demonstrați că AB=CD.AB=CD.

Art, 21/127, **
Indicații (2) | Soluție

Indicația 1: Fie MM și NN punctele de tangență ale segmentelor AB,AB, respectiv CDCD cu cercul mic. Se arată că △OMB≡I.C.△OND\triangle OMB \overset{I.C.}{\equiv} \triangle OND, deci ∡BOM≡∡DON.\measuredangle BOM\equiv \measuredangle DON. Analog, ∡AOM≡∡CON.\measuredangle AOM\equiv \measuredangle CON.

Indicația 2: Se arată că △AOB≡△COD.\triangle AOB \equiv \triangle COD.

Soluție:


ABAB, CDCD tangente ⇒∡M=∡N=90°.\Rightarrow \measuredangle M = \measuredangle N = 90\degree.

△OMB≡I.C.△OND\triangle OMB \overset{I.C.}{\equiv} \triangle OND (OM≡ON,OM \equiv ON, OB≡ODOB\equiv OD) ⇒∡O1≡∡O2.\Rightarrow \boxed{\measuredangle O_1 \equiv \measuredangle O_2}.
Analog, ∡O3≡∡O4,\measuredangle O_3 \equiv \measuredangle O_4, deci ∡AOB=∡COD.\boxed{\measuredangle AOB = \measuredangle COD}.

△AOB≡△COD\triangle AOB \equiv \triangle COD (L.U.L.) ⇒AB=CD.\Rightarrow \boxed{AB = CD}.