Exercițiul 155

E.155. Fie ecuația 2ab−a−4b=42ab-a-4b=4, unde a, b∈Za,~b \in \Z. Determinați perechile de numere (a,b)(a,b) care verifică condiția a⋅b∈N.\sqrt{a \cdot b} \in \N.

Olimpiadă, etapa locală, Vaslui, 2013
Indicații (2) | Răspuns | Soluție

Indicația 1: Scrie ecuația sub forma (2b−1)(a−2)=6(2b-1)(a-2)=6

Indicația 2: Analizează care sunt cele două numere care înmulțite trebuie să dea 66, ținând cont că 2b−12b-1 este un număr impar.

Răspuns: a=0, b=−1a=0,~ b=-1 sau a=−4, b=0a=-4,~ b=0

Soluție:

a(2b−1)−2(2b−1)−2=4a(2b-1)-2(2b-1)-2=4
(2b−1)(a−2)=6(2b-1)(a-2)=6

Cum 2b−12b-1 este un număr impar, avem cazurile:

  • 2b−1=−1,2b-1=-1, \quad a−2=−6⇒a=−4, b=0a-2=-6 \Rightarrow \boxed{a=-4,~ b=0};
  • 2b−1=1,2b-1=1, \quad a−2=6⇒a=8,b=1⇒a⋅b≠a-2=6 \Rightarrow a=8, b=1 \Rightarrow a\cdot b \not= p.p.;
  • 2b−1=−3,2b-1=-3, \quad a−2=−2⇒a=0, b=−1a-2=-2 \Rightarrow \boxed{a=0,~ b=-1};
  • 2b−1=3,2b-1=3, \quad a−2=2⇒a=4,b=2⇒a⋅b≠a-2=2 \Rightarrow a=4, b=2 \Rightarrow a\cdot b \not= p.p.;