Exercițiul 152

E.152. Să se determine numărul aabba‾\overline{aabba}, aa și bb fiind cifre în sistemul zecimal, dacă aabba‾=aab‾−b−a.\sqrt{\overline{aabba}} = \overline{aab} - b -a.

Olimpiadă, etapa locală, Teleorman, 2023
Indicații (3) | Răspuns | Soluție

Indicația 1: aab‾−b−a=100a+10a+b−b−a=109a.\overline{aab} - b -a = 100a+10a+b-b-a = 109a.

Indicația 2: aabba‾=1092⋅a2\overline{aabba} = 109^2 \cdot a^2

Indicația 3: Cum Uc(1092)=1U_c(109^2)=1 rezultă UC(a2)=a,U_C(a^2) = a, deci a∈{1,5,6}a \in \{1,5,6\}

Răspuns: a=1, b=8.a=1,~ b=8.

Soluție:

Soluția 1: aabba‾=aab‾−b−a=100a+10a+b−b−a=109a.\sqrt{\overline{aabba}} = \overline{aab} - b -a = 100a+10a+b-b-a = 109a.
Deci aabba‾=1092⋅a2\overline{aabba} = 109^2 \cdot a^2
Cum Uc(1092)=1U_c(109^2)=1 rezultă UC(a2)=a,U_C(a^2) = a, deci a∈{1,5,6}.a \in \{1,5,6\}. Analizând cele 33 cazuri obținem a=1, b=8.\boxed{a=1,~ b=8}.

Soluția 2 (barem): La fel ca mai sus, ajungem la aabba‾=1092⋅a2.\overline{aabba} = 109^2 \cdot a^2.
Tratăm separat cazurile a=1a=1 și a=2a=2 și obținem a=1, b=8.\boxed{a=1,~ b=8}.
Pentru a≥3a \geq 3 avem 1092⋅a2≥11881⋅9=106929>aabba‾109^2 \cdot a^2 \geq 11881 \cdot 9 = 106929 > \overline{aabba}.