Exercițiul 150

E.150. Fie xx și yy numere naturale nenule astfel încât 1x+1y=12023.\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2023}. Arătați că (x−2023)(y−2023)=2023.\sqrt{(x-2023)(y-2023)} = 2023.

Olimpiadă, etapa locală, Mureș, 2023
Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: Din ipoteză obținem xy=2023(x+y).xy=2023(x+y). Apoi înmulțim cele două paranteze de sub radical și folosim ipoteza.

Răspuns: Sub radical obținem 202322023^2

Soluție:

Din ipoteză obținem xy=2023(x+y).xy=2023(x+y).
(x−2023)(y−2023)=xy−2023x−2023y+20232=xy−2023(x+y)+20232=ipoteza˘20232(x-2023)(y-2023) = xy-2023x-2023y+2023^2 = xy-2023(x+y) + 2023^2 \overset{\text{ipoteză}}{=} 2023^2, iar de aici rezultă concluzia.