Exercițiul 147

E.147. Se consideră numerele A=17+(914+1021+…+70441)−(12+13+…+163)A=\sqrt{\dfrac{1}{7} + \bigg(\dfrac{9}{14} + \dfrac{10}{21}+\ldots + \dfrac{70}{441}\bigg) - \bigg(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}+\ldots + \dfrac{1}{63}\bigg) } și B=11⋅6+12⋅9+13⋅12+…+199⋅300B=\dfrac{1}{1 \cdot 6} + \dfrac{1}{2 \cdot 9} + \dfrac{1}{3 \cdot 12} +\ldots + \dfrac{1}{99 \cdot 300}. Demonstrați că A⋅B+1100A \cdot B + \dfrac{1}{100} este număr natural.

Olimpiadă, etapa locală, Iași, 2023
Supliment Gazeta Matematică, 9/2022
Indicații (2) | Răspuns

Indicația 1: La AA, grupăm primul termen din prima paranteză cu primul termen din a 2-a paranteză și obținem 1/71/7 etc. Obținem A=3A=3.

Indicația 2: La BB dăm factor comun pe 13\dfrac{1}{3} și obținem B=13⋅99100B=\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{99}{100}.

Răspuns: A⋅B+1100=1.A \cdot B + \dfrac{1}{100} = 1.