Exercițiul 146

Soluția 1:

$\dfrac{4x-5}{x+1}= \dfrac{4x+4-4-5}{x+1} = 4-\dfrac{9}{x+1}.$

O condiție necesară (nu și suficientă) pentru ca numărul de mai sus să fie pătrat perfect este ca $x+1$ să-l dividă pe $9$, deci:

$x+1 \in \{-9, -3, -1, 1, 3, 9 \}$.
Observăm că doar penru $x+1=3$ obținem un pătrat perfect, deci $\boxed{x=2}.$

Soluția 2:

O condiție necesară (nu și suficientă) pentru ca numărul de sub radical să fie pătrat perfect este ca $x+1$ să-l dividă pe $4x-5$, deci:
$x+1 ~|~ 4x-5$
$x+1 ~|~ 4(x+1)$
Deci $x+1 ~|~ (4x+4)-(4x-5)$, adică $x+1 ~|~ 9.$

$x+1 \in \{-9, -3, -1, 1, 3, 9 \}$.
$x \in \{-10, -4, -2, 0, 2, 8 \}$.

Cum $x\in \N \Rightarrow x \in \{0, 2, 8\}.$ Verificând manual cele $3$ posibilităti obținem $\boxed{x=2}.$