Exercițiul 145

E.145. Determinați n∈N∗n \in \N^*, astfel încât 2⋅4⋅6⋅…⋅(2n)+8∈N.\sqrt{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (2n) + 8} \in \N.

Narcis Gabriel Turcu, Olimpiadă, etapa locală, Brăila, 2016
Indicații (2) | Răspuns

Indicația 1: A=(2⋅1)⋅(2⋅2)⋅(2⋅3)⋅…⋅(2⋅n)+8=2n⋅n!+8.A=\sqrt{(2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 3) \cdot \ldots \cdot (2 \cdot n) + 8} = \sqrt{2^n \cdot n! + 8}.
Se tratează separat cazurile până la n<5n < 5 și separat cazul n≥5n \geq 5.

Indicația 2: Pentru n≥5n \geq 5 obținem Uc(2n⋅n!+8)=8,U_c(2^n \cdot n!+8) = 8, deci a(n)a(n) nu este pătrat perfect.

Răspuns: n=2n=2