Exercițiul 144

E.144. Diferența pătratelor a două numere naturale este 20232023. Determinați aceste două numere naturale nenule, dacă cel mai mare divizor comun al lor este 1717.

Olimpiadă, etapa locală, Covasna și Harghita, 2023
Indicații (3) | Răspuns | Soluție

Indicația 1: (a, b)=17(a,~b)=17, deci există numerele naturale mm și nn astfel încât a=17m, b=17n, (m, n)=1a=17m,~ b=17n,~(m,~n)=1.

Indicația 2: Înlocuim pe aa și bb în relația a2−b2=2023a^2-b^2=2023.

Indicația 3: Rezolvăm ecuația m2−n2=7m^2-n^2=7 folosid formula x2−y2=(x−y)(x+y)x^2-y^2=(x-y)(x+y).

Răspuns: a=68, b=51a=68,~ b=51

Soluție:

Notăm cu aa și bb cele două numere. Din (a, b)=17(a,~b)=17 rezultă că există numerele naturale mm și nn astfel încât:
a=17m, b=17n, (m, n)=1\boxed{a=17m,~ b=17n,~(m,~n)=1} \quad(1)

Din ipoteză, a2−b2=2023a^2-b^2=2023
⇔172m2−172n2=172⋅7\Leftrightarrow 17^2m^2 - 17^2n^2=17^2 \cdot 7
⇔m2−n2=7\Leftrightarrow m^2 - n^2 = 7
⇔(m−n)(m+n)=7\Leftrightarrow (m - n)(m+n) = 7
⇒m−n=1\Rightarrow m - n=1 și m+n=7⇒m=4, n=3m+n=7 \Rightarrow \boxed{m=4,~ n=3}

Deci a=68, b=51\boxed{a=68,~ b=51}.