Exercițiul 143

E.143. Determinați numerele de forma abc‾\overline{abc}, știind că are loc relația abc‾=5⋅(a+b+c)\sqrt{\overline{abc}}=5 \cdot (a+b+c).

Olimpiadă, etapa locală, Covasna, 2023
Gazeta Matematică
Indicații (2) | Răspuns | Soluție

Indicația 1: Membrul drept ∈N\in \N, deci sub radical trebuie să avem un pătrat perfect.

Indicația 2: În membrul drept avem un multiplu de 55, deci în membrul stâng vom avea pătrate perfecte de 33 cifre divizibile cu (5k)2(5k)^2.

Răspuns: abc‾=400\overline{abc}=400

Soluție:

Membrul drept ∈N\in \N, deci sub radical trebuie să avem un pătrat perfect.
În membrul drept avem un multiplu de 55, deci în membrul stâng vom avea pătrate perfecte de 33 cifre divizibile cu (5k)2(5k)^2.

Deci abc‾∈{102,152,202,252,302}\overline{abc} \in \{10^2, 15^2, 20^2, 25^2, 30^2\}.

Analizând cele 5 cazuri constatăm că doar abc‾=400\boxed{\overline{abc}=400} convine.